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1. 计算：$1-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}-\frac{1}{72}-\frac{1}{90}$。
答案：
$\frac{17}{20}$ [提示]$1 - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42} - \frac{1}{56} - \frac{1}{72} - \frac{1}{90} = 1 -$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) - (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) -$
$(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) - (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} -$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{10} =$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{10} = \frac{17}{20}$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) - (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) -$
$(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) - (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} -$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{10} =$
$\frac{3}{4} + \frac{1}{10} = \frac{17}{20}$
例2 计算：$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{109}{110}$。
思路分析
观察到分子比分母少1，分母是两个相邻的自然数的积，可以先把每个分数都看成1，然后再减去多算的部分。
解答：
$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{109}{110}$
$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+\cdots+(1-\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{10\times11})$
$=10-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11})$
$=10-(1-\frac{1}{11})$
$=10-\frac{10}{11}$
$=9\frac{1}{11}$
归纳点拨
这类分数分子都比分母少1，分母均可表示为两个因数相乘的形式，并且满足相邻两个分母的因数首尾相接。
思路分析
观察到分子比分母少1，分母是两个相邻的自然数的积，可以先把每个分数都看成1，然后再减去多算的部分。
解答：
$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{109}{110}$
$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+\cdots+(1-\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{110})$
$=10-(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{10\times11})$
$=10-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11})$
$=10-(1-\frac{1}{11})$
$=10-\frac{10}{11}$
$=9\frac{1}{11}$
归纳点拨
这类分数分子都比分母少1，分母均可表示为两个因数相乘的形式，并且满足相邻两个分母的因数首尾相接。
答案：
2. 计算：$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\cdots+\frac{379}{380}$。
答案：
$18\frac{1}{20}$ [提示]$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \cdots + \frac{379}{380} = (1 - \frac{1}{2}) +$
$(1 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{1}{12}) + \cdots + (1 - \frac{1}{380}) = 19 - (\frac{1}{2} +$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{380}) = 19 - (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots +$
$\frac{1}{19 \times 20}) = 19 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots +$
$\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) = 19 - (1 - \frac{1}{20}) = 19 - \frac{19}{20} = 18\frac{1}{20}$
$(1 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{1}{12}) + \cdots + (1 - \frac{1}{380}) = 19 - (\frac{1}{2} +$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{380}) = 19 - (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots +$
$\frac{1}{19 \times 20}) = 19 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots +$
$\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) = 19 - (1 - \frac{1}{20}) = 19 - \frac{19}{20} = 18\frac{1}{20}$
例3 计算：$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}$。
思路分析
通过观察，这几个分数后一个数的分母都等于前一个数分母的4倍，分子相同，要用“分数的拆分法”来解答。也就是把算式里的各个分数拆分成减法算式，通过加减相互抵消，求得结果。
解答：
$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}+\frac{1}{4096}$
$=1-\frac{1}{4096}$
$=\frac{4095}{4096}$
归纳点拨
仔细观察数据，从中发现规律，运用拆分的方法，通过加减相互抵消，解决问题。
思路分析
通过观察，这几个分数后一个数的分母都等于前一个数分母的4倍，分子相同，要用“分数的拆分法”来解答。也就是把算式里的各个分数拆分成减法算式，通过加减相互抵消，求得结果。
解答：
$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{3}{1024}+\frac{3}{4096}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}+\frac{1}{4096}$
$=1-\frac{1}{4096}$
$=\frac{4095}{4096}$
归纳点拨
仔细观察数据，从中发现规律，运用拆分的方法，通过加减相互抵消，解决问题。
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