1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=

　　　 ，则P+Q中元素的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．9　　　　　　　　　　　　 B．8　　　　　　　　　　　　 C．7　　　　　　　　　　　　 D．6

解：集合P中和集合Q中各选一个元素可组成的组合数为其对应的和有一个重复：0+6=1+5,

故P+Q中的元素有8个,选(B)

( 15 )(本小题满分12分)

化简并求函数的值域和最小正周期.

[答案]

解:

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

∴　 ，，

∴的值域是，最小正周期是．

( 16 ) (本小题共14分)

如图3所示，在四面体中，已知，

．是线段上一点，，点在线段上，且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]

　(Ⅰ)证明：在中， ∵

　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　 ∴　 ∴

　　　　　　　　　　　　　　　 又∵

　　　　　　　　　 ∴

(II)

解法一：由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，

建立空间直角坐标系C－xyz，则

，，，，

∵为平面ABC的法向量，

为平面ABC的法向量，

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

y

(17 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点A、B满足(如图4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三条中线的交点)

的轨迹方程；

(Ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出

最小值；若不存在，请说明理由．

[答案]

解法一：

(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

　 ，①

∴，②　 　③

　∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为　　 ，∴　　 ⑤，

设的重心G为，则

　　 ⑥ ， 　　　⑦，

由⑥⑦得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

(Ⅱ)由弦长公式得

把②⑤代入上式，得　 ，

设点到直线的距离为，则，

∴ ，

∴ 当，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 ．

解法二：

(Ⅰ)∵　 AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

　　 　① ， 　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，

∴

　　　　　　　 ，

当且仅当，即时，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 .

解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

　 　　　　…(1)

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …(2)

又点A，B在抛物线上，有，

代入(2)化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为，

(II)，

由(I)得，

当且仅当即时，等号成立，

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．

( 18 ) (本小题共12分)

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以表示取球结束时已取到白球的次数．

(Ⅰ)求的分布列；

(Ⅱ)求的数学期望．

[答案]

解：(Ⅰ)取出黄球的概率是，取出白球的概率是，则

，　　 ， 　，

……，　　 ，　　 ，

∴的分布列是

	0	1	2	…
				…

(Ⅱ)

… 　　①

…　　 　　　②

①-②得

…

∴　

∴的数学期望是．

( 19 ) (本小题共14分)

设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．

[答案]

解：(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴

　　　　　　　　　 即　，

∵在［0，7］上，只有，

∴，∴，

∴是非奇非偶函数．

(Ⅱ)由，令，得　　 ，

由，令，得　 ,

∴，

∴是以10为周期的周期函数，

由得，的图象关于对称，

∴在［0，11］上，只有，

∴10是的最小正周期，

∵在［0，10］上，只有，

∴在每一个最小正周期内只有两个根，

∴在闭区间上的根的个数是．

( 20 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图5所示)．将矩形折叠，使点落在线段上．

(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

(Ⅱ)求折痕的长的最大值．

[答案]

解：(Ⅰ)( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程，

( ii ) 当时，设A点落在线段上的点，

，则直线的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)

为，

∴折痕所在的直线方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

由(Ⅰ)知，，∵，∴，

设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，

( i ) 当时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ；

( ii )当时，

设，，

时，l与线段AB相交，此时，

时，l与线段BC相交，此时，

时，l与线段AD相交，此时，

时，l与线段DC相交，此时，

∴将k所在的分为3个子区间：

①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，

　折痕的长，

∴，

②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得　 ，

故当时，是减函数，当时，是增函数，

∵，，

∴，

∴当时，，

，

∴当时， ，

③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，

折痕的长，

　∴，即，

综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．

(11)函数的定义域是　　　　　　　　 ．

[答案]

解：使有意义，则，　

　 ∴ ，∴，

∴的定义域是．

(12)已知向量，，且，则　　　　　　　 ．

[答案]4

解：∵，∴，∴，∴.

(13)已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则　

　　　　　　　　 　．

[答案]

解：的通项为，，

∴的展开式中的系数是,

的通项为，，

∴的展开式中的系数是

∴ ，.

(14)设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，　　　　　 ．(用表示)

[答案]5，

解：由图B可得，

由，，，

，可推得

∵n每增加1，则交点增加个，

∴

．

( 1 ) 若集合，则M∩N　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．{3}　　　　　　　　　　 B．{0}　　　　　　　　　　 C．{0，2}　　　　　　　 D．{0，3}

[答案]B

解: 　∵由，得，

由，得，

∴M∩N，故选B．

( 2 ) 若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．5

[答案]D

解:　 　∵ ，∴，

　　， ，故选D．

( 3 ) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]A

解: ，故选A．

( 4 ) 已知高为3的直棱锥的底面是边长为1的正三角形

(如图1所示)，则三棱锥的体积为　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

[答案]D

解:∵

∴．

故选D.

( 5 ) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[答案]B

解: 　∵，∴，

　 　∵ ，∴，

∴，故选B．

( 6 )函数是减函数的区间为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．(0，2)

[答案]D

解: 　∵

，故选D．

( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、，的四个命题：

①若，点，则与不共面；

②若m、l是异面直线,　 ,　 且，则；

③若, ，则；

④若点，，则．

其中为假命题的是

A．①　　 　 B．②　 　 　C．③　　 　D．④

[答案]C

解：③是假命题，如右图所示

　　　 满足, ，　

　　　 但 　，故选C．

　( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子

　 朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

[答案]C

解：满足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以，故选C．

　

( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像

关于直线对称．现将图像沿x轴向左平移2个单位，

再沿y轴向上平移1个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线

(如图2所示)，则函数的表达式为

　　　 A．　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　 D．

[答案]A

解：将图象沿y轴向下平移1个单位，再沿轴向右平移2个单位得下图A，从而可以得到的图象，故，

∵函数和的图像关于直线对称，

∴，故选A．

(也可以用特殊点检验获得答案)

(10)已知数列满足，，．若，则

A．　　 　　　　　　　　　 B．3　　　 　　　　　　　　　　 C．4　　　 　　　　　　　　　　 D．5

[答案]B

解法一：特殊值法，当时，

　 　　　　　　由此可推测，故选B．

解法二：∵，∴，，

　　　 　∴是以()为首项，以为公比6的等比数列，

令，则

…

　　 …

　　

∴，∴，故选B.

解法三：∵，∴，

　　　　 ∴其特征方程为，

　　　　　　　 解得　　　 ，，

　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　 ∵，，∴，，

　　　　 ∴，以下同解法二．

22．(本小题满分14分)

　　　 已知方向向量为的直线l过点()和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot

　　　 ∠MON≠0(O为原点).若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

　 　

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

21．(本小题满分12分)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　　

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=||.

20．(本小题满分12分)

已知函数的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为.

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)求函数的单调区间.

解：(Ⅰ)由的图象过点P(0，2),d=2知,所以 ,(x)=3x²+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知

-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.

故所求的解析式为f(x)=x³-3x-3+2,

(Ⅱ) (x)=3x²-6x-3,令3x²-6x-3=0即x²-2x-1=0,解得x₁=1-,x₂=1+,

当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-<x<1+时, (x)<0

∴f(x)=x³-3x²-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.

19．(本小题满分12分)

　　　 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

　 (Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由.

解：(Ⅰ)由题意得：2a₂=a₁+a₂,即2a₂q²=a₁+a₁q,,∵a₁≠0,∴2q²-q-1=0,∴q=1或q=

(Ⅱ)若q=1,则.

当n≥2时,,故

若q=,则,

当n≥2时, ,

故对于n∈N⁺,当2≤n≤9时,S_n>b_n；当n=10时, S_n=b_n；当n≥11时, S_n<b_n

18．(本小题满分12分)

　　 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.

　 (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.

(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=

甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为

P()=P()+P()=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为

17．(本小题满分12分)

已知.

　 (Ⅰ)求的值；

　 (Ⅱ)求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) ==