16．(本小题共14分)

　　　 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足为E.

(Ⅰ)求证BD⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求异面直线AD与BC₁所成角的余弦值.

解法一：

(I)在直四棱柱中,

　　　 底面,

　　　 是在平面上的射影.

(II)连结

　　　 与(I)同理可证

　　　 为二面角的平面角.

　　　 又且

　　　 在中,， ，

　　　 即二面角的大小为90°

(III)过B作BF∥AD交于,连结

　　　 则就是与所成的角.

在中,。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法二：

(I)同解法一.

(II)如图,以D为坐标原点,所

　　　 在直线分别为轴,轴,轴,建立空间

　　　 直角坐标系.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　 得。

　　　 ∴ 。∴。

　　　 ∴ 二面角的大小为90°.

(II)如图,由，得。

∵ ，

∴。

即异面直线与所成角的余弦值为。

解法三：

(I)同解法一.

　 (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E.

　　　 连结

　　　 与(I)同理可证,

　　　 为二面角的平面角.

　　　 由

　　　 得

　　　 二面角的大小为

(III)如图,由

　　　 得

　　　 异面直线与所成角的大小为

[名师指津]

　　　 三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平

行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.

15．(本小题共13分)

　　　 已知函数

　 (Ⅰ)求的单调减区间；

(Ⅱ)若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

[答案]

[详解]

解：(I)

令,解得或

所以函数的单调递减区间为

(II)因为

所以

因为在上,所以在单调递增,又由于

在上单调递减,因此和分别是在区间

上的最大值和最小值.

于是有,解得

故

因此

即函数在区间上的最小值为

[名师指津]

　　　 函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要

　　　 熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.

14．已知n次式项式.

　　 如果在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P₃(x₀)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P₁₀(x₀)的值共需要　　　　　　　

　　 次运算.

　　　 下面给出一种减少运算次数的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用该算法，计算P₃(x₀)的值共需要6次运算，计算P₁₀(x₀)的值共需要

　　　　　　 次运算.

[答案]

[详解]

　　　 由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果

　　　 对于这里进行了3次运算,

　　　 进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法

运算进行了3次这样总共进行了次运算

对于总共进行了次

乘法运算及次加法运算所总共进行了次

由改进算法可知：

　　　 ,,

运算次数从后往前算和为：次

[名师指津]

　　　 本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息.

13．对于函数定义域中任意的，有如下结论：

　　　 ①；　　　　　　 ②；

　　　 ③　　　　　　　　　　　　　　 ④

　　 当时，上述结论中正确结论的序号是　　　　　　　 .

[答案]②③

[详解]

　　　 对于①②可以用

直接验证即可②满足题意

　　　 对于③④如右图所示：

　　　　　　　 对于图象上任意不同

　　　　　　　 两点

　　　　　　　 显然成立(可以用)故③正确

　　　　　　　 再有AB中点C(过C作轴交于D(

　　　　　　　 D在上有：故④不正确

[名师指津]

　　　 本题主要考查了函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合.

12．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为　　　　　 ，切线的斜率为　　　　 .

　 [答案]

[详解]

　　　 (略)

[名师指津]

(略)

11．的展开式中的常数项是　　　　　 . (用数字作答)

[答案]

[详解]

　　　 对于当时第5项为常数项,即

.

[名师指津]

　　　 二项式定理第项的通项公式的运用在往年高考中经常遇到.

10．已知的值为　　　　　　 ，的值为　　　　　 .

[答案]

[详解]

(I)因为

　　　 所以

　　　 所以

[名师指津]

　　　 本题还考查了倍角的正切公式与两角和的正公式.三角函数知识的考查每年题目难度都不是很

　　　 大,应该抓基本公式与基本题型的解决.

9．若为纯虚数，则实数a的值为　　　　　 .

[答案]

[详解]

　　　 为纯虚数

　　　 且

[名师指津]

　　　 复数的四则运算,复数为实数、纯虚数的充要条件,复数的模作为复数内容的重点.

8．函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．在上递减

　　　 B．在上递减

　　　 C．在上递减

　　　 D．在上递减

[答案]A

[详解]

　　　 当或时 　在上为增函数

　　　 当或时 　在上为减函

数.

[名师指津]

　　　 对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类

　　　 讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.

第Ⅱ卷(共110分)

7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

[答案]A

[详解]

　　　 本题可以先从14人中选出12人即,然后从这12人中再选出4人做为早班即,最后再从剩

余的8人选出4人安排为中班即,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得

不同的排法为：.

[名师指津]

　　　 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.