( 15 )(本小题满分12分)

化简并求函数的值域和最小正周期.

[答案]

解:

　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　　　

∴　 ，，

∴的值域是，最小正周期是．

( 16 ) (本小题共14分)

如图3所示，在四面体中，已知，

．是线段上一点，，点在线段上，且．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

[答案]

　(Ⅰ)证明：在中， ∵

　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　　 ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，

同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

在中，∵

　　　　　　　　　 ∴　 ∴

　　　　　　　　　　　　　　　 又∵

　　　　　　　　　 ∴

(II)

解法一：由(I)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

∴CE⊥平面PAB，而EF平面PAB，

∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角，

∵

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

解法二：如图，以C点的原点，CB、CA为x、y轴，

建立空间直角坐标系C－xyz，则

，，，，

∵为平面ABC的法向量，

为平面ABC的法向量，

∴，

∴二面角B-CE-F的大小为．

y

(17 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点A、B满足(如图4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三条中线的交点)

的轨迹方程；

(Ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出

最小值；若不存在，请说明理由．

[答案]

解法一：

(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

　 ，①

∴，②　 　③

　∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为　　 ，∴　　 ⑤，

设的重心G为，则

　　 ⑥ ， 　　　⑦，

由⑥⑦得　 ，即，这就是得重心的轨迹方程．

(Ⅱ)由弦长公式得

把②⑤代入上式，得　 ，

设点到直线的距离为，则，

∴ ，

∴ 当，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 ．

解法二：

(Ⅰ)∵　 AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

　　 　① ， 　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，

∴

　　　　　　　 ，

当且仅当，即时，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 .

解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

　 　　　　…(1)

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …(2)

又点A，B在抛物线上，有，

代入(2)化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为，

(II)，

由(I)得，

当且仅当即时，等号成立，

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．

( 18 ) (本小题共12分)

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以表示取球结束时已取到白球的次数．

(Ⅰ)求的分布列；

(Ⅱ)求的数学期望．

[答案]

解：(Ⅰ)取出黄球的概率是，取出白球的概率是，则

，　　 ， 　，

……，　　 ，　　 ，

∴的分布列是

	0	1	2	…
				…

(Ⅱ)

… 　　①

…　　 　　　②

①-②得

…

∴　

∴的数学期望是．

( 19 ) (本小题共14分)

设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．

[答案]

解：(Ⅰ)∵，

　　　　 ∴

　　　　　　　　　 即　，

∵在［0，7］上，只有，

∴，∴，

∴是非奇非偶函数．

(Ⅱ)由，令，得　　 ，

由，令，得　 ,

∴，

∴是以10为周期的周期函数，

由得，的图象关于对称，

∴在［0，11］上，只有，

∴10是的最小正周期，

∵在［0，10］上，只有，

∴在每一个最小正周期内只有两个根，

∴在闭区间上的根的个数是．

( 20 ) (本小题共14分)

在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图5所示)．将矩形折叠，使点落在线段上．

(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

(Ⅱ)求折痕的长的最大值．

[答案]

解：(Ⅰ)( i ) 当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程，

( ii ) 当时，设A点落在线段上的点，

，则直线的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)

为，

∴折痕所在的直线方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为

由(Ⅰ)知，，∵，∴，

设折痕长度为d，所在直线的倾斜角为，

( i ) 当时，此时A点与D点重合, 折痕的长为2 ；

( ii )当时，

设，，

时，l与线段AB相交，此时，

时，l与线段BC相交，此时，

时，l与线段AD相交，此时，

时，l与线段DC相交，此时，

∴将k所在的分为3个子区间：

①当时，折痕所在的直线l与线段DC、AB相交，

　折痕的长，

∴，

②当时，折痕所在的直线l与线段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得　 ，

故当时，是减函数，当时，是增函数，

∵，，

∴，

∴当时，，

，

∴当时， ，

③当时，折痕所在的直线l与线段AD、BC相交，

折痕的长，

　∴，即，

综上所述得，当时，折痕的长有最大值，为．