4．函数在下列哪个区间上是减函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

解：∵当0≤2x≤π,即0≤x≤时函数是减函数,选(C)

3．已知等差数列中，的值是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．15　　　　　　　　　　　 B．30　　　　　　　　　　　 C．31　　　　　　　　　　　 D．64

解：由,得a₈=8,∴,∴a₁₂=1+8×=15,选(A)

2．不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

解：∵不等式的解是x>或x<,选(A)

1．已知集合R|，等于　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．P　　　　　　　　　　　　 B．Q　　　　　　　　　　　 C．{1，2}　　　　　　　 D．{0，1，2}

解：∵P=[0,2],={0,1,2},选(D)

22．(本小题满分14分)

已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

(Ⅰ)求当a为何值时a₄=0；

(Ⅱ)设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

(Ⅲ)若，求a的取值范围.

解：(Ⅰ)∵a₁=a,∴1+=a₂,∴a₂=,,,

故当时,

(Ⅱ)∵b₁=-1,

当a=b₁时,a₁=1+=0

当a=b₂时,a₂==b₁,∴a₂=0,

当a=b₃时,a₃=1+=b₂,∴a₃=1+,∴a₄=0,

……

一般地,当a=b_n时,a_n+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_n+1.

可用数学归纳法加以证明：

①　　 当n=1时,a=b₁,显然a₂=0,得到一个含2项的有穷数列a₁,a₂.

②　　 假设当n=k时,a=b_k,得到一个含有k+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_k+1,其中a_k+1=0,则n=k+1时.a=b_k+1,∴a₂=1+.

由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a₂,a₃,…,a_k+2,其中a_k+2=0.

由①②知,对一切n∈N⁺,命题都成立.

(Ⅲ)要使即,∴1<a_n-1<2.

∴要使,当且仅当它的前一项a_n-1,满足1<a_n-1<2,∵(,2)(1,2),

∴只须当a₄,都有

由得,

解不等式组得,故a>0.

21．(本小题满分12分)

已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0，－2)和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点E(－2，0)的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0(O为原点).若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)由题意可得直线ι：,　　 ①

过原点垂直ι的方程为　　　　　　 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为.　　　 ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

20．(本小题满分12分)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

解法一：(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE

(Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=,

∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角,

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=,BF=

∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin.

,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,∵,∴.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=.

∴点D点D到平面ACE的距离为.

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图

∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得

令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0),　　

∴cos()=

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离

d=||.

19．(本小题满分12分)

已知函数的图象在点M(－1，f(x))处的切线方程为x+2y+5=0.

(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；

(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.

解：(Ⅰ)由函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即f(-1)=-2,(-1)=.∵(x)=,∴

即解得a=2,b=3(∵b+1≠0,∴b=-1舍去)

∴所求函数y=f(x)的解析式是

(Ⅱ),令-2x²+12x+6=0,解得x₁=,x₂=

当x<,或x>时,;当<x<时,,

所以在(-∞, )内是减函数;在(,)内是增函数;

在(,+∞)内是减函数

18．(本小题满分12分)

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

解：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则

	0	1	2
P

P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,甲、乙两人得分之和的可取值为0、1、2,则概率分布为

E=0×+1×+2×=

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为.

17．(本小题满分12分)

已知.

　 (I)求sinx－cosx的值；

　 (Ⅱ)求的值.

解：(Ⅰ)由,得,得2sinxcosx=,∵(sinx-cosxx)²=1-2sinxcosx=,又∴sinx<0cosx>0,∴sinx-cosx=-

(Ⅱ) =

=