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10. 如图，在等腰$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，$\angle ABC$的平分线分别交$AC$，$AD$于$E$，$F$两点，$M$为$EF$的中点，连接$AM$并延长交$BC$于点$N$。有下列说法：
甲：$\triangle AEF$是等边三角形；
乙：$AM\perp EF$；
丙：$DF = CN$。
其中说法正确的是(
A.只有甲
B.只有乙
C.只有丙
D.甲、乙、丙都不正确
甲：$\triangle AEF$是等边三角形；
乙：$AM\perp EF$；
丙：$DF = CN$。
其中说法正确的是(
B
)A.只有甲
B.只有乙
C.只有丙
D.甲、乙、丙都不正确
答案：
10.B
11. 新考法 条件开放 如图，$BC = BE$，$\angle 1 = \angle 2$，若要使$\triangle ABE\cong\triangle DBC$，则可以添加的条件是
BA=BD(答案不唯一)
。(写出一个即可)
答案：
11.BA=BD(答案不唯一)
12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 105^{\circ}$，$AC = \sqrt{2}$，则$BC$的长为
$\sqrt {3}$+1
。
答案：
12.$\sqrt {3}$+1
13. 万唯原创 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$的中点，$E$是$AC$边上一点，连接$DE$并延长交$BA$的延长线于点$F$，若$DE = EF$，则$\dfrac{AF}{BF}$的值为
$\frac{1}{3}$
。
答案：
13.$\frac{1}{3}$
14. 万唯原创 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$BC$边上的点，连接$AD$，过点$D$作$ED\perp DA$交$AB$于点$E$，且$BE = DE$，$\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{4}{5}$，若$AC = 20$，则$BD =$
32
。
答案：
14.32
15. 如图，$BD$平分$\angle ABC$，且$AB = BD$，连接$AD$，$CD$，$\angle C = 90^{\circ}$，过点$A$作$AF\perp BD$于点$F$。
（1）求证：$AF = CD$；
（2）若$AB = 5$，$BC = 4$，求四边形$ADCB$的周长。
（1）求证：$AF = CD$；
（2）若$AB = 5$，$BC = 4$，求四边形$ADCB$的周长。
答案：
15.
(1)证明略;
(2)四边形ADCB的周长为$12 + \sqrt {10}$
(1)证明略;
(2)四边形ADCB的周长为$12 + \sqrt {10}$
16. （2025 黑白卷）在自驾出游需要露营时，为了遮阳和防雨可以借助汽车或树木搭建如图①的“天幕”，如图②是搭建后的截面示意图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧$CE$后系在车顶$A$处，另一侧$CF$拉直后用地钉钉在地面上的点$P$处，$CD$是垂直于地面的天幕支撑杆且与点$E$，$F$所在直线垂直，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度$\angle ECF$，已知$CE = CF$，$BD = 4.85\ m$，车顶到地面的距离为$1.7\ m$。若将“天幕”撑开到最大时天幕的展开角$\angle ECF = 150^{\circ}$，拉直$CE$所需的绳子$AE$的长为$2\ m$。（结果保留小数点后一位，参考数据：$\sin 75^{\circ}\approx 0.97$，$\cos 75^{\circ}\approx 0.26$，$\tan 75^{\circ}\approx 3.73$）
（1）求此时$\angle ACD$的度数及$CD$的长；
（2）求此时拉直$CF$所需的绳子$PF$的长。
（1）求此时$\angle ACD$的度数及$CD$的长；
（2）求此时拉直$CF$所需的绳子$PF$的长。
答案：
16.解:
(1)如解图,连接EF,过点A 作AG⊥CD于点G,则四边形ABDG为矩形，
∴∠AGC=90°,AG=BD=4.85m,DG=AB=1.7m.
∵CE=CF,CD⊥EF,
∴CD平分∠ECF
∵∠ECF=150°,
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ECF=75°.
在Rt△ACG中,
CG=$\frac{AG}{tan\angle ACG}$=$\frac{4.85}{tan75°}$≈1.30(m),
∴CD=CG+DG≈1.30+1.7=3.0(m);
(2)如解图，
∵EF⊥CD,CE=CF,
∴∠PCD=∠ACD=75°.
在Rt△CDP中,
CP=$\frac{CD}{cos\angle DCP}$=$\frac{3.0}{cos75°}$,
在Rt△ACG中,
AC=$\frac{AG}{sin\angle ACG}$=$\frac{4.85}{sin75°}$.
∵AE=2,
∴CE=CF=AC - AE=$\frac{4.85}{sin75°}$ - 2,
∴PF=CP - CF=$\frac{3.0}{cos75°}$ - ($\frac{4.85}{sin75°}$ - 2)≈8.5(m).
答:此时拉直CF所需的绳子PF 的长约为8.5m.
16.解:
(1)如解图,连接EF,过点A 作AG⊥CD于点G,则四边形ABDG为矩形，
∴∠AGC=90°,AG=BD=4.85m,DG=AB=1.7m.
∵CE=CF,CD⊥EF,
∴CD平分∠ECF
∵∠ECF=150°,
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ECF=75°.
在Rt△ACG中,
CG=$\frac{AG}{tan\angle ACG}$=$\frac{4.85}{tan75°}$≈1.30(m),
∴CD=CG+DG≈1.30+1.7=3.0(m);
(2)如解图，
∵EF⊥CD,CE=CF,
∴∠PCD=∠ACD=75°.
在Rt△CDP中,
CP=$\frac{CD}{cos\angle DCP}$=$\frac{3.0}{cos75°}$,
在Rt△ACG中,
AC=$\frac{AG}{sin\angle ACG}$=$\frac{4.85}{sin75°}$.
∵AE=2,
∴CE=CF=AC - AE=$\frac{4.85}{sin75°}$ - 2,
∴PF=CP - CF=$\frac{3.0}{cos75°}$ - ($\frac{4.85}{sin75°}$ - 2)≈8.5(m).
答:此时拉直CF所需的绳子PF 的长约为8.5m.
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