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12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$ABCD$为菱形，$AB = 13$，若点$B$的坐标为$(8,12)$，点$D$的坐标为$(8,2)$，则点$A$的坐标为
(−4,7)
。
答案：
12.(−4,7)
13. 如图，$OC$是一段坡比为$1:10$的斜坡，在斜坡$OC$上修建两面水平距离为$20$米的墙（墙体均与水平面垂直），每面墙的高度均为$3$米（$OA = BC = 3$米）。某农业种植公司计划在$A$，$B$两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚，用于种植菊芋。已知大棚上某处离地面的高度$y$（米）与其离墙$OA$的水平距离$x$（米）之间的函数关系式为$y = -\frac{1}{40}x^{2} + bx + c$。
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能超过$6$米（直线$DE \perp x$轴，且分别交抛物线和线段$OC$于点$D$，$E$，斜坡与抛物线之间的竖直距离即为$DE$的长），请问搭建的温室大棚是否满足要求？请说明理由。
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能超过$6$米（直线$DE \perp x$轴，且分别交抛物线和线段$OC$于点$D$，$E$，斜坡与抛物线之间的竖直距离即为$DE$的长），请问搭建的温室大棚是否满足要求？请说明理由。
答案：
13.解:
(1)如解图,延长BC交x轴于点G,
∵斜坡OC的坡比为1:10,OG=20,
∴CG=$\frac{1}{10}$OG=2.
∵BC=OA=3,
∴BG=BC+CG=3+2=5,
∴A(0,3),B(20,5).
将点A(0,3),B(20,5)代入y=$-\frac{1}{40}x^{2}+bx+c$中,
得$\begin{cases}c=3,\\-\frac{1}{40}×20^{2}+20b+c=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=3,\\b=\frac{3}{5},\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为y=$-\frac{1}{40}x^{2}+\frac{3}{5}x+3$;
(2)搭建的温室大棚满足要求.理由如下:设直线OC对应的函数解析式为y=kx(k≠0),将C(20,2)代入y=kx中,得2=20k,
解得k=$\frac{1}{10}$,
∴直线OC对应的函数解析式为y=$\frac{1}{10}x$
设点D(m,$-\frac{1}{40}m^{2}+\frac{3}{5}m+3$),则E(m,$\frac{1}{10}m$),
∴DE=$-\frac{1}{40}m^{2}+\frac{3}{5}m+3-\frac{1}{10}m=-\frac{1}{40}(m - 10)^{2}+\frac{11}{2}$
∵$-\frac{1}{40}$＜0,0＜m＜20,
∴当m=10时,DE的最大值为$\frac{11}{2}$.
∵$\frac{11}{2}$＜6,
∴搭建的温室大棚满足要求.
13.解:
(1)如解图,延长BC交x轴于点G,
∵斜坡OC的坡比为1:10,OG=20,
∴CG=$\frac{1}{10}$OG=2.
∵BC=OA=3,
∴BG=BC+CG=3+2=5,
∴A(0,3),B(20,5).
将点A(0,3),B(20,5)代入y=$-\frac{1}{40}x^{2}+bx+c$中,
得$\begin{cases}c=3,\\-\frac{1}{40}×20^{2}+20b+c=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=3,\\b=\frac{3}{5},\end{cases}$
∴该抛物线对应的函数解析式为y=$-\frac{1}{40}x^{2}+\frac{3}{5}x+3$;
(2)搭建的温室大棚满足要求.理由如下:设直线OC对应的函数解析式为y=kx(k≠0),将C(20,2)代入y=kx中,得2=20k,
解得k=$\frac{1}{10}$,
∴直线OC对应的函数解析式为y=$\frac{1}{10}x$
设点D(m,$-\frac{1}{40}m^{2}+\frac{3}{5}m+3$),则E(m,$\frac{1}{10}m$),
∴DE=$-\frac{1}{40}m^{2}+\frac{3}{5}m+3-\frac{1}{10}m=-\frac{1}{40}(m - 10)^{2}+\frac{11}{2}$
∵$-\frac{1}{40}$＜0,0＜m＜20,
∴当m=10时,DE的最大值为$\frac{11}{2}$.
∵$\frac{11}{2}$＜6,
∴搭建的温室大棚满足要求.
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线$l_{1}$：$y = x + 3$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，直线$l_{2}$：$y = mx + 1$的图象分别与$x$轴、$y$轴交于$C(-\frac{1}{3},0)$、$D$两点，$M(1,2)$和$N(3,2)$是第一象限中的两
(1)求直线$l_{2}$的函数解析式；
(2)求$l_{1}$，$l_{2}$与$y$轴所围成的三角形的面积；
(3)将线段$MN$向左平移$n$个单位长度，若与直线$l_{1}$，$l_{2}$同时有公共点，求$n$的取值范围。
个
点，连接$MN$。(1)求直线$l_{2}$的函数解析式；
(2)求$l_{1}$，$l_{2}$与$y$轴所围成的三角形的面积；
(3)将线段$MN$向左平移$n$个单位长度，若与直线$l_{1}$，$l_{2}$同时有公共点，求$n$的取值范围。
答案：
14.解:
(1)直线$l_{2}$的函数解析式为y=3x+1;
(2)$l_{1}$与$l_{2}$与y轴所围成的三角形的面积为1;
(3)
∵M(1,2)和N(3,2),
∴MN=2.
如解图,设直线MN与$l_{1}$和$l_{2}$分别交于点E和F,
在函数y=x+3中,当y=2时,x=−1,
在函数y=3x+1中,当y=2时,x=$\frac{1}{3}$,
∴E(−1,2),F($\frac{1}{3}$,2),
∴EF=$\frac{4}{3}$,ME=2,即线段MN向左平移2个单位开始有2个交点，
$x_{N}-x_{F}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$,
∴n的取值范围为2≤n≤$\frac{8}{3}$.
故将线段MN向左平移n个单位,若与直线$l_{1}$和$l_{2}$同时有公共点,n的取值范围为2≤n≤$\frac{8}{3}$.
14.解:
(1)直线$l_{2}$的函数解析式为y=3x+1;
(2)$l_{1}$与$l_{2}$与y轴所围成的三角形的面积为1;
(3)
∵M(1,2)和N(3,2),
∴MN=2.
如解图,设直线MN与$l_{1}$和$l_{2}$分别交于点E和F,
在函数y=x+3中,当y=2时,x=−1,
在函数y=3x+1中,当y=2时,x=$\frac{1}{3}$,
∴E(−1,2),F($\frac{1}{3}$,2),
∴EF=$\frac{4}{3}$,ME=2,即线段MN向左平移2个单位开始有2个交点，
$x_{N}-x_{F}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$,
∴n的取值范围为2≤n≤$\frac{8}{3}$.
故将线段MN向左平移n个单位,若与直线$l_{1}$和$l_{2}$同时有公共点,n的取值范围为2≤n≤$\frac{8}{3}$.
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