《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

18. 如图,在矩形ABCD中,AB= 6cm,BC= 12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动.设运动开始后第t秒钟后,五边形APQCD的面积为$S cm^2,$当t为何值时,S最小？最小值是多少？

答案： 解:第t秒钟时，$AP = t cm$，则$PB = (6 - t)cm$，$BQ = 2t cm$，故$S_{△PBQ}=\frac{1}{2}(6 - t)\cdot 2t=-t^{2}+6t$。$\because S_{矩形ABCD}=6×12 = 72cm^{2}$，$\therefore S = 72 - S_{△PBQ}=t^{2}-6t + 72(0 ＜ t ＜ 6)$。$\because S = t^{2}-6t + 72=(t - 3)^{2}+63$，
∴当$t = 3s$时，S有最小值$63cm^{2}$。

19. 某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药,学校已订购篱笆120米.设垂直于墙的一边长为x米,围成的矩形面积为S平方米.
(1)求S关于x的函数表达式；
(2)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积；
(3)在花园面积最大的条件下,A,B分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹？

答案： 解:
(1)垂直于墙的一边长为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的一边长为(120 - 3x)米，根据题意得$S = x(120 - 3x)=-3x^{2}+120x=-3(x - 20)^{2}+1200$。
(2)$\because -3 ＜ 0$，
∴当$x = 20$时，S取得最大值，最大值为1200，$\because 120 - 3x = 120 - 3×20 = 60$，
∴设计方案为垂直于墙的一边长为20米，平行于墙的一边长为60米，花园面积最大为1200平方米。
(3)设购买牡丹m株，则购买芍药$1200×2 - m=(2400 - m)$株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，$\therefore 25m + 15(2400 - m)≤50000$，解得$m≤1400$，
∴最多可以购买1400株牡丹。