《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

16.(6 分)已知抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,如图.

连接 $ BC $,$ CD $,$ BD $,$ P $ 为 $ BD $ 的中点,连接 $ CP $,求线段 $ CP $ 的长.

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=−x²+bx+c与x轴交于A(−1,0),B(3,0)两点,
∴抛物线的表达式为y=−(x+1)(x−3),　即y=−x²+2x+3,　化抛物线的表达式为顶点式，得　y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴D(1,4),　把x=0代入y=−x²+2x+3,得y=3,
∴C(0,3),
∵P为BD的中点，
∴P(2,2),
∴CP=$\sqrt{(2 - 0)² + (2 - 3)²}$=$\sqrt{5}$

17.(6 分)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,$ M(x_1,y_1) $,$ N(x_2,y_2) $ 是抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0) $ 上任意两点,设抛物线的对称轴为直线 $ x = t $. 若对于 $ x_1 = 1 $,$ x_2 = 2 $,有 $ y_1 = y_2 $,求 $ t $ 的值.

答案： 解:
∵对于x₁=1,x₂=2,有y₁=y₂,
∴a+b+c=4a+2b+c,
∴3a+b=0,
∴$\frac{b}{a}$=−3.
∴抛物线的对称轴为直线x=−$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$.
∴t=$\frac{3}{2}$.

18.(6 分)如图,已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ A(1,-2) $ 和 $ B(0,-5) $. 当 $ y \leq -2 $ 时,请求出 $ x $ 的取值范围.

答案：
解:
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A(1,−2)和B(0,−5),
∴$\begin{cases} c = -5 \\ 1 + b + c = -2 \end{cases}$解得$\begin{cases} b = 2 \\ c = -5 \end{cases}$
∴y=x²+2x−5=(x+1)²−6,
∴顶点坐标为(−1,−6).　如图,点A(1,−2)关于对称轴直线x=−1的对称点坐标为(−3,−2),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴当y≤−2时,−3≤x≤1.