《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

21. (8 分)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AC,BD $ 是对角线,将点 $ B $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到点 $ E $,连接 $ AE,BE,CE $.

(1)求 $ \angle CBE $ 的度数；
(2)若 $ \triangle ACD $ 是等边三角形,且 $ \angle ABC = 30^{\circ} $,$ AB = 3 $,$ BD = 5 $,求 $ BE $ 的长.

答案：
(1)∠CBE的度数为60°;
(2)BE的长为4.

22. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 1 $,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,$ \triangle AEF $ 是由 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转得到的,连接 $ BE,CF $ 相交于点 $ D $.

(1)求证：$ BE = CF $；
(2)当四边形 $ ACDE $ 为菱形时,求 $ BD $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,
∴AE=AB,AF=AC,∠EAF=∠BAC,
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF,即∠EAB=∠FAC.又
∵AB=AC,
∴AE=AF.
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到,
∴BE=CF.
(2)BD=$\sqrt{2}$ - 1.