《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

16. 已知二次函数在 $ x = 1 $ 时有最大值 $ -6 $,且图象经过点 $ (2, -8) $,求该二次函数的解析式。

答案： 解:由已知条件可得抛物线的顶点坐标为(1，−6)，
　　可设解析式为y=a(x−1)²−6(a≠0),代入点(2,−8),得a−6=−8,解得a=−2,
∴该二次函数的解析式为y=−2(x−1)²−6,
　　化成一般式为y=−2x²+4x−8.

17. 如图,在正方形 $ OABC $ 中,已知点 $ A(0, 2) $,$ C(2, 0) $,当二次函数 $ y = (x - m)^{2} - m $ 的图象与正方形有公共点时,求 $ m $ 的最小值。

答案：
解:
∵y=(x−m)²−m,
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(m，−m)，
∴抛物线的顶点在直线y=−x上.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如图，当抛物线的顶点在y轴左侧，抛物线经过点A时，满足题意.
　把(0,2)代入y=(x−m)²−m,
　得2=m²−m,
　　解得m=2(舍去)或m=−1,
∴m的最小值为−1.

18. 在平面直角坐标系中,点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, -1) $,若二次函数 $ y = x^{2} - 4x + m + 2 $ 的图象与线段 $ OP $ 有且只有一个公共点,求 $ m $ 的取值范围。

答案： 解:
∵y=x²−4x+m+2=(x−2)²+m−2,
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2,m−2)，
∴抛物线的顶点在y轴右侧，
　　当抛物线经过点P(−2,−1)时,−1=4+8+m+2,
　　解得m=−15,
　　当抛物线经过原点(0,0)时,0=m+2,
　解得m=−2,
∴−15≤m≤−2.