《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

23. (11 分)如图,二次函数的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,$ C $,$ D $ 两点是二次函数图象上关于对称轴对称的一对对称点,一次函数的图象经过点 $ B $,$ D $.

(1) 求点 $ D $ 的坐标；
(2) 求二次函数、一次函数的解析式；
(3) 根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1)解:由图得C(0,3),抛物线的对称轴为直线x=−1,
∴点D的坐标为(−2,3).
(2)解:由图可得，二次函数图象与x轴的两个交点分别为A(−3,0),B(1,0)，故可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0).将点C的坐标(0,3)代入二次函数的解析式可得−3a=3，
∴a=−1.
∴二次函数的解析式为y=−(x+3)(x−1)=−x²−2x+3.设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),把D(−2,3),B(1,0)分别代入上式，得$\begin{cases}-2k + b = 3 \\ k + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = 1 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为y=−x+1.
(3)由图象可知，当x＜−2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值.

24. (12 分)加强劳动教育,落实五育并举. 孝礼中学在当地政府的支持下建成了一处劳动实践基地. 2023 年计划将其中 $ 1000\ m^{2} $ 的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 经调查发现：甲种蔬菜种植成本 $ y $(单位：元/$ m^{2} $)与其种植面积 $ x $(单位：$ m^{2} $)的函数关系如图所示,其中 $ 200 \leq x \leq 700 $；乙种蔬菜的种植成本为 $ 50\ 元/m^{2} $.

(1) 当 $ x = $ ______500$ m $ 时,$ y = 35\ 元/m^{2} $；
(2) 设 2023 年甲、乙两种蔬菜总种植成本为 $ W $ 元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使 $ W $ 最小？
(3) 学校计划今后每年在这 $ 1000\ m^{2} $ 土地上均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降. 若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $ 10\% $,乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $ a\% $,当 $ a $ 为何值时,2025 年的总种植成本为 28 920 元？

答案：
(1)500；
(2)解:当200≤x≤600时,W=x($\frac{1}{20}$x+10)+50(1000−x)=$\frac{1}{20}$(x−400)²+42000.
∵$\frac{1}{20}$＞0,
∴抛物线开口向上，
∴当x=400时，W有最小值，最小值为42000，此时,1000−x=1000−400=600.当600≤x≤700时，W=40x+50(1000−x)=−10x+50000.
∵−10＜0,
∴当x=700时，W有最小值，最小值为−10×700+50000=43000,
∵42000＜43000,
∴当甲种蔬菜的种植面积为400m²，乙种蔬菜的种植面积为600m²时，W最小.
(3)解:由
(2)可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，且乙种蔬菜的种植成本为50×600=30000(元)，则甲种蔬菜的种植成本为42000−30000=12000(元).由题意,得12000(1−10%)²+30000(1−a%)²=28920.设a%=m,整理得(1−m)²=0.64,解得m₁=0.2=20%,m₂=1.8(不符合题意,舍去),
∴a%=20%,
∴a=20.答:当a为20时，2025年的总种植成本为28920元.