《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

21.(8 分)如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长是 $ 12m $,宽是 $ 4m $. 按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用 $ y = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c $ 表示,且抛物线上的点 $ C $ 到墙面 $ OB $ 的水平距离为 $ 3m $,到地面 $ OA $ 的距离为 $ \frac{17}{2}m $.

(1)求该抛物线的解析式,并计算出拱顶 $ D $ 到地面 $ OA $ 的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后的高为 $ 6m $,宽为 $ 4m $,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过？

答案： 解:
(1)根据题意,得B(0,4),C(3,$\frac{17}{2}$),　　把B(0,4),C(3,$\frac{17}{2}$)代入y=−$\frac{1}{6}$x²+bx+c,得$\begin{cases} c = 4 \\ -\frac{1}{6}×3² + 3b + c = \frac{17}{2} \end{cases}$　　解得$\begin{cases} b = 2 \\ c = 4 \end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{6}$x²+2x+4.　　则y=−$\frac{1}{6}$(x−6)²+10,
∴D(6,10),
∴拱顶D到地面OA的距离为10m;　　
(2)由题意，得货运汽车最外侧与地面OA的交点坐标为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y=$\frac{22}{3}$＞6,
∴这辆货车能安全通过.

22.(10 分)如图 1,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ＜ 0) $ 与 $ x $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B(1,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,对称轴为直线 $ x = -1 $,且 $ OA = OC $,$ P $ 为抛物线上一动点.


(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图 2,连接 $ AC $,当点 $ P $ 在直线 $ AC $ 上方时,求四边形 $ PABC $ 面积 $ S $ 的最大值,并求出此时点 $ P $ 的坐标.

答案：
解:
(1)
∵抛物线交x轴于点A,B(1,0),
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴是直线x=−1,
∴A(−3,0),
∵OA=OC,
∴OC=3,
∴C(0,3).
∴抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1),　把C(0,3)代入抛物线的解析式，　　得3=a×3×(−1),解得a=−1,
∴抛物线的解析式为y=−x²−2x+3.　　
(2)如图,连接OP.设P(m,−m²−2m+3),−3＜m＜0,　　　　　　　　　　　　 　　则S=S_{△PAO}+S_{△POC}+S_{△OBC} 　　=$\frac{1}{2}$×3×(−m²−2m+3)+$\frac{1}{2}$×3×(−m)+$\frac{1}{2}$×1×3 　　=$\frac{3}{2}$(−m²−3m+4)　　=−$\frac{3}{2}$(m+$\frac{3}{2}$)²+$\frac{75}{8}$,
∵−$\frac{3}{2}$＜0,
∴当m=−$\frac{3}{2}$时，S的值最大，最大值为$\frac{75}{8}$,此时−m²−2m+3=$\frac{15}{4}$,即P(−$\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).