《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

19. (8 分)解方程：
(1)$ 2x^{2}-4x + 1 = 0 $；(2)$ (x - 3)^{2}= 3 - x $；
(3)$ x^{2}+4x-2 = 0 $.

答案： 解:
(1)2x²-4x+1=0,x²-2x+1/2=0,x²-2x=-1/2,x²-2x+1=1/2,(x-1)²=1/2,x-1=±√2/2,
∴x₁=(2+√2)/2,x₂=(2-√2)/2;
(2)(x-3)²=3-x,(x-3)²+(x-3)=0,(x-3)(x-2)=0,
∴x₁=3,x₂=2;
(3)
∵a=1,b=4,c=-2,
∴b²-4ac=4²-4×1×(-2)=24,
∴x=(-4±√24)/(2×1)=(-4±2√6)/2=-2±√6,
∴x₁=-2+√6,x₂=-2-√6.

20. (8 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(k + 3)x + 3k = 0 $.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)选取一个合适的 $ k $ 值,使得方程有两个整数根,并求出这两个整数根.

答案：
(1)证明:
∵Δ=(k+3)²-12k=(k-3)²≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:当k=2时,方程为x²+5x+6=0,(x+3)(x+2)=0,解得x₁=-2,x₂=-3.(答案不唯一)