《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

21. (8 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC$,点$O在AB$上,以$O$为圆心,$OA为半径的半圆分别交AC$,$BC$,$AB于点D$,$E$,$F$,且$E是弧DF$的中点.
(1)求证：$BC是\odot O$的切线；
(2)若$CE = \sqrt{2}$,求图中阴影部分的面积(结果保留$\pi$).

答案：

(1)证明:如图,连接OE,OD.
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠OAD=∠B=45°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°,
∴∠DOF=90°.
∵E是弧DF的中点，
∴∠DOE=∠EOF=$\frac{1}{2}$∠DOF=45°.
∴∠OEB=180°−∠EOF−∠B=90°,
∴OE⊥BC.
　　又
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:
∵OE⊥BC,∠B=45°,
∴△OEB是等腰直角三角形,
　　设BE=OE=x,则OB=$\sqrt{2}$x,
∴AB=x+$\sqrt{2}$x.
　　易知AB=$\sqrt{2}$BC,
∴AB=$\sqrt{2}$(CE+BE)=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$+x).
∴x+$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$+x),解得x=2,
∴OE=BE=2.
　　由
(1)知∠EOF=45°,
∴S阴影=S△OEB−S扇形OEF=$\frac{1}{2}$×2×2−$\frac{45×π×2²}{360}$=2−$\frac{π}{2}$.

22. (10 分)已知$PA$,$PB分别与\odot O相切于点A$,$B$,$\angle APB = 80^{\circ}$,$C为\odot O$上一点.
(1)如图 1,求$\angle ACB$的大小；
(2)如图 2,$AE为\odot O$的直径,$AE与BC相交于点D$.若$AB = AD$,求$\angle EAC$的大小.

答案：
解:
(1)连接OA,OB,如图1.
∵PA,PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠AOB=360°−90°−90°−80°=100°,
　　由圆周角定理得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=50°;
(2)连接CE,如图2.
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE=90°.
∵∠ACB=50°,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠BCE=90°−50°=40°,
∴∠BAE=∠BCE=40°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°,
∴∠EAC=∠ADB−∠ACB=20°.