《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

16. (6 分)如图,$AB是\odot O$的直径,点$C为\odot O$上的一点,过点$B作BD\perp CD$,垂足为$D$,连接$BC$,已知$BC平分\angle ABD$.求证：$CD为\odot O$的切线.

答案： 证明:
∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC//BD.
∵BD⊥CD,
∴OC⊥CD.
　　又
∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线.

17. (6 分)如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O分别与BC$,$CA$,$AB相切于点D$,$E$,$F$,且$AB = 18\ cm$,$BC = 28\ cm$,$CA = 26\ cm$,求$AF$,$BD$,$CE$的长.

答案： 解:根据切线长定理，得
AE=AF,BF=BD,CE=CD.
　设AF=AE=xcm,
　　则CE=CD=(26−x)cm,BF=BD=(18−x)cm,
∵BC=28cm,
∴(18−x)+(26−x)=28,解得x=8,
∴AF=8cm,BD=10cm,CE=18cm.

18. (6 分)如图,$CD为\odot O$的直径,$CD\perp AB$,垂足为$F$,$AO\perp BC$,垂足为$E$,$BC = 2\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径.

答案：
解:如图,连接AC;
∵AE⊥BC,AO过点O,
∴CE=BE,
∴AB=AC.
　　同理AC=BC,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴∠BCD=30°,
在Rt△CEO中,∠ECO=30°,CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$
　　OC=2OE,
　　则由勾股定理可知OE²+CE²=OC²,
　　即OE²+($\sqrt{2}$)²=(2OE)²,
　　解得OE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$(负值已舍),
∴OC=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,即⊙O的半径为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.