《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

23. 如图,抛物线 $ y = a(x - 2)^{2} + 3 $($ a $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)与 $ y $ 轴交于点 $ A(0, \frac{5}{3}) $。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若直线 $ y = kx + \frac{2}{3} $($ k \neq 0 $)与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为 $ x_{1} $,$ x_{2} $,当 $ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10 $ 时,求 $ k $ 的值；
(3)当 $ -4 ＜ x \leq m $ 时,$ y $ 有最大值 $ \frac{4m}{3} $,求 $ m $ 的值。

答案： 解:
(1)把A(0,$\frac{5}{3}$)代入y=a(x−2)²+3中,
　得4a+3=$\frac{5}{3}$,
∴a=−$\frac{1}{3}$,
∴抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{3}$(x−2)²+3.
(2)联立一次函数与抛物线的解析式，得
　　$\begin{cases}y=kx+\frac{2}{3}\\y=-\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 3\end{cases}$
∴−$\frac{1}{3}$(x−2)²+3=kx+$\frac{2}{3}$,
　整理,得x²−(4−3k)x−3=0,
∴x₁+x₂=4−3k,x₁x₂=−3,
∵x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=10,
∴(4−3k)²+6=10,
　解得k₁=2,k₂=$\frac{2}{3}$.
(3)抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线开口向下，
　若m＜2,则当x=m时,y有最大值,即$\frac{4m}{3}$=−$\frac{1}{3}$(m−2)²+3,
　解得m=±$\sqrt{5}$,
∴m=−$\sqrt{5}$;
　　当m≥2时,则当x=2时,y有最大值，
∴$\frac{4m}{3}$=3,
∴m=$\frac{9}{4}$.
　综上所述，m的值为−$\sqrt{5}$或$\frac{9}{4}$.

24. 如图,直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 6 $($ a \neq 0 $)相交于点 $ A(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}) $ 和点 $ B(4, m) $。抛物线与 $ x $ 轴的交点分别为 $ H $,$ K $(点 $ H $ 在点 $ K $ 的左侧)。点 $ F $ 在线段 $ AB $ 上运动(不与点 $ A $,$ B $ 重合),过点 $ F $ 作直线 $ FC \perp x $ 轴于点 $ P $,交抛物线于点 $ C $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 $ AC $,是否存在点 $ F $,使 $ \triangle FAC $ 是直角三角形？若存在,求出点 $ F $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解:
(1)
∵直线y=x+2过点B(4,m),
∴m=4+2=6,
∴B(4,6).
　把点A和点B的坐标分别代入抛物线的解析式，得$\begin{cases}\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b + 6 = \frac{5}{2}\\16a + 4b + 6 = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = - 8\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=2x²−8x+6.
(2)存在点F,使△FAC为直角三角形.
　设F(n,n+2),直线AB与x轴交于点M,与y轴交于点N,则M(−2,0),N(0,2),C(n,2n²−8n+6).
∴OM=ON=2,
∴∠ONM=45°,
∵FC//y轴,
∴∠AFC=∠ONM=45°,
　若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论:
　　①如图1,当点A为直角顶点,即∠FAC=90°时,过点A作AD⊥FC于点D,
　　　　　　　　　　　　
　　在Rt△FAC中,
∵∠AFC=45°,
∴AF=AC,
∴DF=DC,
∴AD=$\frac{1}{2}$FC,
∴n−$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[(n+2)−(2n²−8n+6)],
　　化简得2n²−7n+3=0,
　　解得n₁=3,n₂=$\frac{1}{2}$(舍去),
∴F(3,5).
　　②如图2,当点C为直角顶点,即∠FCA=90°时,AC//x轴，
　　
　　在Rt△FAC中,
∵∠AFC=45°,
∴AC=CF,
∴n−$\frac{1}{2}$=n+2−(2n²−8n+6),
　　化简得4n²−16n+7=0,
　　解得n₁=$\frac{7}{2}$,n₂=$\frac{1}{2}$(舍去)，
∴F($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).
综上所述，存在点F，使△FAC为直角三角形，点F的坐标为(3,5)或($\frac{7}{2}$,$\frac{11}{2}$).