《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

16. (6 分)已知关于 $ x $ 的方程 $ (m^{2}-1)x^{2}-(m + 1)x + m = 0 $. 当 $ m $ 为何值时,此方程是一元二次方程？当 $ m $ 为何值时,此方程是一元一次方程？

答案： 解:若方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0是一元二次方程,则m²-1≠0,即m≠±1,
∴当m≠±1时,此方程是一元二次方程;若方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0是一元一次方程,则m²-1=0且-(m+1)≠0,即m=1,
∴当m=1时,此方程是一元一次方程.

17. (6 分)以下是某同学解方程 $ x^{2}-3x= -2x + 6 $ 的过程：
解：方程两边因式分解,得 $ x(x - 3)= -2(x - 3) $,①
方程两边同除以 $ (x - 3) $,得 $ x= -2 $,②
$ \therefore $ 原方程的解为 $ x= -2 $. ③
上面的过程有错误吗？如果有错误,请你指出第几步错了,并写出正确的解答过程.

答案： 解:第②步错了,正确的解法如下:方程两边因式分解,得x(x-3)=-2(x-3),移项,得x(x-3)+2(x-3)=0,方程左边因式分解,得(x-3)(x+2)=0,方程转化为x-3=0或x+2=0,所以原方程的解为x₁=3,x₂=-2.

18. (6 分)某商场以每件 $ 280 $ 元的价格购进一批商品,当每件商品的售价为 $ 360 $ 元时,每月可售出 $ 60 $ 件,为了扩大销售量,商场决定采取适当降价的方式促销. 经调查发现,如果每件商品降价 $ 1 $ 元,那么商场每月就可以多售出 $ 5 $ 件. 要使商场每月销售这种商品的利润达到 $ 7200 $ 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元？

答案： 解:设每件商品应降价x元,由题意,得(360-x-280)(5x+60)=7200,解得x₁=8,x₂=60,若要更有利于减少库存,则x=60.