《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

22. (10 分)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 $ x $(单位:$m $)、飞行高度 $ y $(单位:$m $)随飞行时间 $ t $(单位:$s $)变化的数据,如下表.

探究发现:$ x $ 与 $ t $,$ y $ 与 $ t $ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出 $ x $ 关于 $ t $ 的函数解析式和 $ y $ 关于 $ t $ 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决:如图,活动小组在水平安全线上 $ A $ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.

(1)若发射平台相对于安全线的高度为 $ 0\ m $,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
(2)在安全线上设置回收区域 $ MN $,$ AM = 125\ m $,$ MN = 5\ m $.若飞机落到 $ MN $ 内(不包括端点 $ M,N $),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.

答案： 解:探究发现:x与t是一次函数关系,y与t是二次函数关系,设x=kt(k≠0),y=at²+bt(a≠0),由题意,得{10=2k,4a+2b=22,16a+4b=40,解得k=5,a=-1/2,b=12,
∴x=5t,y=-1/2 t²+12t.问题解决:
(1)依题意,得-1/2 t²+12t=0,解得t₁=0(舍去),t₂=24.当t=24时,x=120.答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=-1/2 t²+12t+n.
∵125＜x＜130,
∴125＜5t＜130,
∴25＜t＜26,在y'=-1/2 t²+12t+n中,当t=25,y'=0时,n=12.5;当t=26,y'=0时,n=26.
∴12.5＜n＜26.答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.

23. (11 分)某公司经过市场调查,整理出某种商品在某个月的第 $ x $ 天的售价与销量的相关信息如下表:

已知该商品的进价为 $ 20 $ 元/件,设销售该商品的日销售利润为 $ y $ 元.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式;
(2)销售该商品第几天时,日销售利润为 $ 2\ 250 $ 元?
(3)在当月有多少天的日销售利润不低于 $ 2\ 400 $ 元? 请直接写出结果.

答案：
(1)根据题意,得y=(x+40-20)(100-2x)=-2x²+60x+2000(1≤x≤30).
(2)当y=2250时,2250=-2x²+60x+2000,x²-30x+125=0,解得x₁=5,x₂=25.答:销售该商品第5天或第25天时,日销售利润为2250元.
(3)y=-2x²+60x+2000=-2(x-15)²+2450,当y=2400时,2400=-2(x-15)²+2450,2(x-15)²=50,解得x₁=10,x₂=20.根据二次函数的图象可知:当10≤x≤20时,日销售利润不低于2400元.答:当月有11天的日销售利润不低于2400元.