《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

16. (6 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x+(2m + 1)= 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ 2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}\geq 20 $,求 $ m $ 的取值范围.

答案： 解:根据题意,得Δ=(-6)²-4(2m+1)≥0,解得m≤4.由根与系数的关系,得x₁+x₂=6,x₁x₂=2m+1,
∵2x₁x₂+x₁+x₂≥20,
∴2(2m+1)+6≥20,解得m≥3.又m≤4,
∴m的取值范围为3≤m≤4.

17. (6 分)某生物实验室需培育一种有益菌.现有 $ 60 $ 个活体样本,经过两轮培植后,总和达 $ 24\ 000 $ 个,其中每个有益菌每一次可分裂出相同数目的有益菌.按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌?

答案： 解:设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌,由题意,得60(1+x)+60x(1+x)=24000,60(1+x)(1+x)=24000,解得x₁=19,x₂=-21(舍去),
∴x=19.由题意,得60×(1+19)³=480000(个).答:经过三轮培植后有480000个有益菌.

18. (6 分)设一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $.在下面的四组条件中选择其中一组 $ b,c $ 的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$ b = 2,c = 1 $;②$ b = 3,c = 1 $;③$ b = 3,c = - 1 $;④$ b = 2,c = 2 $.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.

答案： 解:x²+bx+c=0中,a=1,①b=2,c=1时,Δ=b²-4ac=2²-4×1×1=0,方程有两个相等的实数根;②b=3,c=1时,Δ=b²-4ac=3²-4×1×1=5＞0,方程有两个不相等的实数根;③b=3,c=-1时,Δ=b²-4ac=3²-4×1×(-1)=13＞0,方程有两个不相等的实数根;④b=2,c=2时,Δ=b²-4ac=2²-4×1×2=-4＜0,方程没有实数根;因此可选择②或③.选择②b=3,c=1时,x²+3x+1=0,Δ=5,x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-3±√5)/2,x₁=(-3+√5)/2,x₂=(-3-√5)/2;选择③b=3,c=-1时,x²+3x-1=0,Δ=13,x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-3±√13)/2,x₁=(-3+√13)/2,x₂=(-3-√13)/2.