《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

21. (8分)在Rt△ABC中,$\angle ABC = 90°$,$\angle ACB = 30°$,将△ABC绕点$C顺时针旋转一定的角度\alpha$得到△DEC,点$A$,$B的对应点分别是D$,$E$.

(1)当点$E恰好在AC$上时,如图1,求$\angle ADE$的大小；
(2)若$\alpha = 60°$,$F是边AC$的中点,如图2,求证：四边形$BEDF$是平行四边形.

答案：
(1)解:
∵将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC,点E恰好在AC上,
∴∠ACB = ∠DCE = 30°,∠DEA = ∠DEC = ∠ABC = 90°,CA = CD,
∴∠ADC = ∠DAC = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°,
∴∠ADE = 90° - 75° = 15°.
(2)证明:
∵F是边AC的中点,
∴BF = $\frac{1}{2}$AC,
∵∠ACB = 30°,
∴AB = $\frac{1}{2}$AC,
∴BF = AB,
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴∠BCE = 60°,BC = EC,DE = AB,
∴DE = BF,△BEC为等边三角形,
∴BE = BC = EC,
∵F是边AC的中点,
∴FC = AB,又
∵CD = CA,∠DCF = ∠CAB = 60°,
∴△DFC≌△CBA(SAS),
∴DF = CB,
∴DF = BE,又
∵BF = DE,
∴四边形BEDF是平行四边形.

22. (10分)已知平行四边形$ABCD的两边AB$,$AD的长是关于x的方程x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$的两个实数根.
(1)当$m$为何值时,四边形$ABCD$是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若$AB$的长为2,那么$□ ABCD$的周长是多少？

答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB = AD.又
∵AB,AD的长是关于x的方程x² - mx + $\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根,
∴Δ = (-m)² - 4×($\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$) = (m - 1)² = 0,
∴m = 1,
∴当m为1时,四边形ABCD是菱形.当m = 1时,原方程为x² - x + $\frac{1}{4}=0$,即$(x-\frac{1}{2})²=0$,解得x₁ = x₂ = $\frac{1}{2}$,
∴菱形ABCD的边长是$\frac{1}{2}$.
(2)把x = 2代入原方程,得4 - 2m + $\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得m = $\frac{5}{2}$.将m = $\frac{5}{2}$代入原方程,得x² - $\frac{5}{2}$x + 1 = 0,
∴方程的另一根AD = 1÷2 = $\frac{1}{2}$,
∴□ABCD的周长是2×(2 + $\frac{1}{2}$) = 5.