《2025年核心素养学练评九年级数学上册人教版》

23. (11 分)如图,在边长为 $ 12cm $ 的等边 $ \triangle ABC $ 中,点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 边向点 $ B $ 以每秒 $ 1cm $ 的速度移动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 边向点 $ C $ 以每秒 $ 2cm $ 的速度移动. 若 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,其中任意一点到达终点后,两点同时停止运动.
(1)第 $ 4s $ 时,$ BP = $ ______ $ cm $,$ BQ = $ ______ $ cm $；
(2)经过几秒时,$ \triangle BPQ $ 是直角三角形？
(3)经过几秒时,$ \triangle BPQ $ 的面积等于 $ 10\sqrt{3}cm^{2} $？

(1)第 $ 4s $ 时,$ BP = $ 8 $ cm $,$ BQ = $ 8 $ cm $；
(2)经过几秒时,$ \triangle BPQ $ 是直角三角形？
6 s或12/5 s
(3)经过几秒时,$ \triangle BPQ $ 的面积等于 $ 10\sqrt{3}cm^{2} $？
2 s

答案：
(1)8 8
(2)6 s或12/5 s
(3)2 s

24. (12 分)某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为 $ 80 $ 元,销售价为 $ 120 $ 元时,每天可售出 $ 20 $ 件,为了扩大销售量,增加利润,商店决定采取适当的降价措施,经市场调查发现,如果每件童装降价 $ 1 $ 元,那么平均可多售出 $ 2 $ 件.
(1)设每件童装降价 $ x $ 元时,每天可销售 (20+2x) 件,每件盈利 (40-x) 元；(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时,平均每天盈利 $ 1200 $ 元？
(3)要想平均每天盈利 $ 2000 $ 元,可能吗？请说明理由.
(2)根据题意,得(20+2x)(40-x)=1200,解得x₁=20,x₂=10,∴每件童装降价20元或10元时,平均每天盈利1200元;(3)不能,理由如下:(20+2x)(40-x)=2000,整理,得x²-30x+600=0,∵Δ=(-30)²-4×600=-1500＜0,∴此方程无实数解,∴不可能平均每天盈利2000元.

答案： 解:
(1)(20+2x) (40-x)
(2)根据题意,得(20+2x)(40-x)=1200,解得x₁=20,x₂=10,
∴每件童装降价20元或10元时,平均每天盈利1200元;
(3)不能,理由如下:(20+2x)(40-x)=2000,整理,得x²-30x+600=0,
∵Δ=(-30)²-4×600=-1500＜0,
∴此方程无实数解,
∴不可能平均每天盈利2000元.