《2025年初中同步练习册八年级数学上册青岛版北京教育出版社》

18. (7 分) 如图,$CD = CA$,$\angle1= \angle2$,$EC = BC$。求证：$AB = DE$。

答案： 证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠BCA=∠ECD。
在△BCA和△ECD中，
CA=CD，
∠BCA=∠ECD，
BC=EC，
∴△BCA≌△ECD（SAS）。
∴AB=DE。

19. (8 分) 先化简,再求值：
(1)$(\frac{x + 1}{x^{2}-1}+\frac{x}{x - 1})÷\frac{x + 1}{x^{2}-2x + 1}$,其中 $x = 2$。
(2)$(\frac{3x}{x - 2}-\frac{x}{x + 2})÷\frac{x}{x^{2}-4}$,从 $-2$,$0$,$1$,$2$ 这四个数中选一个合适的数代入求值。

答案：
(1)
原式$=(\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x}{x - 1})÷\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}}$
$=(\frac{1}{x - 1}+\frac{x}{x - 1})÷\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}}$
$=\frac{x + 1}{x - 1}×\frac{(x - 1)^{2}}{x + 1}$
$=x - 1$
当$x = 2$时，原式$=2 - 1=1$。
(2)
原式$=(\frac{3x}{x - 2}-\frac{x}{x + 2})×\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}$
$=\frac{3x(x + 2)-x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}$
$=\frac{3x^{2}+6x - x^{2}+2x}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}$
$=\frac{2x^{2}+8x}{(x + 2)(x - 2)}×\frac{(x + 2)(x - 2)}{x}$
$=2x + 8$
因为$x\neq\pm2$且$x\neq0$，所以取$x = 1$，原式$=2×1+8 = 10$。

20. (8 分) 解下列方程：
(1)$\frac{x}{x - 2}-\frac{1}{x^{2}-4}= 1$；
(2)$\frac{2}{x}-\frac{1}{1 + x}= 0$；
(3)$\frac{6}{x - 2}= \frac{x}{x + 3}-1$；
(4)$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}= \frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$。

答案：
(1)
方程$\frac{x}{x - 2}-\frac{1}{x^{2}-4}=1$，
因为$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$x(x + 2)-1=(x + 2)(x - 2)$
$x^{2}+2x - 1=x^{2}-4$
$2x=-3$
解得$x=-\frac{3}{2}$。
检验：当$x =-\frac{3}{2}$时，$(x + 2)(x - 2)\neq0$，
所以原方程的解为$x =-\frac{3}{2}$。
(2)
方程$\frac{2}{x}-\frac{1}{1 + x}=0$，
方程两边同乘$x(x + 1)$得：
$2(x + 1)-x=0$
$2x+2 - x=0$
$x=-2$。
检验：当$x =-2$时，$x(x + 1)\neq0$，
所以原方程的解为$x=-2$。
(3)
方程$\frac{6}{x - 2}=\frac{x}{x + 3}-1$，
方程两边同乘$(x - 2)(x + 3)$得：
$6(x + 3)=x(x - 2)-(x - 2)(x + 3)$
$6x+18=x^{2}-2x-(x^{2}+x - 6)$
$6x+18=x^{2}-2x - x^{2}-x + 6$
$6x+18=-3x + 6$
$9x=-12$
解得$x=-\frac{4}{3}$。
检验：当$x =-\frac{4}{3}$时，$(x - 2)(x + 3)\neq0$，
所以原方程的解为$x=-\frac{4}{3}$。
(4)
方程$\frac{2x + 2}{x}-\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2x}$，
因为$x^{2}-2x=x(x - 2)$，
方程两边同乘$x(x - 2)$得：
$(2x + 2)(x - 2)-x(x + 2)=x^{2}-2$
$(2x^{2}-2x - 4)-(x^{2}+2x)=x^{2}-2$
$2x^{2}-2x - 4 - x^{2}-2x=x^{2}-2$
$-4x=2$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x =-\frac{1}{2}$时，$x(x - 2)\neq0$，
所以原方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。