《2025年初中同步练习册八年级数学上册青岛版北京教育出版社》

19. 如图,已知在 $ \angle MON $ 的一边 $ OM $ 上有一点 $ A $,另一边 $ ON $ 上有一点 $ C $,过 $ A $ 作 $ ON $ 的垂线交 $ ON $ 于点 $ B $,过 $ C $ 作 $ OM $ 的垂线交 $ OM $ 于点 $ D $,$ AE $,$ CF $ 分别是 $ \angle DAB $,$ \angle DCB $ 的平分线. 求证：$ AE // CF $.

答案： 证明：
∵AB⊥ON，CD⊥OM（已知），
∴∠ABC=∠CDA=90°（垂直定义）。
在四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°（四边形内角和定理），
∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-90°-90°=180°（等式性质）。
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB（已知），
∴∠EAB=∠DAB/2，∠FCB=∠DCB/2（角平分线定义）。
∴∠EAB+∠FCB=(∠DAB+∠DCB)/2=180°/2=90°（等式性质）。
在Rt△ABE中，∠AEB+∠EAB=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠AEB=90°-∠EAB=∠FCB（等量代换）。
∴AE//CF（同位角相等，两直线平行）。

20. (1)探究猜想：
如图①,$ E $ 是直线 $ AB $,$ CD $ 内部一点,$ AB // CD $,连接 $ EA $,$ ED $.
① 若 $ \angle A = 30^{\circ} $,$ \angle D = 40^{\circ} $,请直接写出 $ \angle AED $ 的度数.
② 若 $ \angle A = 20^{\circ} $,$ \angle D = 60^{\circ} $,请直接写出 $ \angle AED $ 的度数.
③ 猜想图中 $ \angle AED $,$ \angle EAB $,$ \angle EDC $ 之间的关系,并证明你的结论.
(2)拓展应用：
如图②,射线 $ FE $ 与长方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 交于点 $ E $,与边 $ CD $ 交于点 $ F $,①②③④分别是被射线 $ FE $ 隔开的 4 个区域(不含边界,其中区域③④位于直线 $ AB $ 上方),点 $ P $ 是位于以上四个区域上的点,试猜想 $ \angle PEB $,$ \angle PFC $,$ \angle EPF $ 之间的关系.(不要求证明)

答案：
(1) ① $ \angle AED = 70° $
② $ \angle AED = 80° $
③ $ \angle AED = \angle EAB + \angle EDC $
证明：
过点 $ E $ 作 $ EF // AB $，则 $ \angle A = \angle AEF $（两直线平行，内错角相等）。
$ AB // CD $, 所以 $ EF // CD $，$ \angle D = \angle DEF $。
$ \angle AED = \angle AEF + \angle FED = \angle EAB + \angle EDC $。
(2)
在区域①：$ \angle EPF = \angle PEB + \angle PFC $。
在区域②：$ \angle EPF = 360° - (\angle PEB + \angle PFC) $。
在区域③：$ \angle EPF = \angle PEB - \angle PFC $。
在区域④：$ \angle EPF = \angle PFC - \angle PEB $。