《2025年初中同步练习册八年级数学上册青岛版北京教育出版社》

13. 如图,在Rt△ABC中,已知AB⊥AC,AD⊥BC,垂足为D,BE平分∠ABC交AD于点E,EF//AC交BC于点F. 求证：AE= FE.

答案： 证明：
由于 $BE$ 平分 $\angle ABC$，
根据角平分线的性质，有 $\angle ABE = \angle FBE$，
因为$AB \perp AC$，$AD \perp BC$，
所以$\angle BAE + \angle BAD = \angle C + \angle BAD = 90°$，
根据同角的余角相等，
所以$\angle BAE = \angle C$，
由于 $EF // AC$，
根据平行线的性质，有 $\angle C = \angle EFB$，
所以$\angle BAE = \angle EFB$，
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，
$\begin{cases}\angle ABE = \angle FBE, \\BE = BE,\\\angle BAE = \angle BFE.\end{cases}$
根据三角形全等（ASA）判定定理 
所以$\triangle ABE \cong \triangle FBE$，
根据全等三角形的对应边相等，
所以$AE = FE$。

14. 两个全等三角形Rt△ABC和Rt△DEC有公共的顶点C. AC和DC、BC和EC分别是对应边.
(1)如图①,当Rt△DCE的顶点D在AB边上时,连接AE,记△BCD的面积为$S_1,△ACE$的面积为$S_2,$试探究$S_1$与$S_2$的数量关系.
(2)如图②,当Rt△DCE的顶点D在Rt△ABC的外部时,(1)中的关系是否成立？(直接写出结论)

答案：
(1)
∵Rt△ABC≌Rt△DEC，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACB=∠DCE=90°。
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB - ∠ACD=∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE。
设∠BCD=∠ACE=θ，BC=EC=a，AC=DC=b。
S₁=1/2·BC·CD·sinθ=1/2·a·b·sinθ，
S₂=1/2·CE·AC·sinθ=1/2·a·b·sinθ，
∴S₁=S₂。
(2)成立。