《2025年初中同步练习册八年级数学上册青岛版北京教育出版社》

21. (9分)阅读材料：解分式不等式$\frac{3x + 6}{x - 1}＜0$.
解：根据实数的除法法则,同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,
∴原不等式可转化为①$\begin{cases}3x + 6＜0\\x - 1＞0\end{cases} $或②$\begin{cases}3x + 6＞0\\x - 1＜0\end{cases} $.
解不等式组①,无解,解不等式组②,得$-2＜x＜1$.
∴原不等式的解集是$-2＜x＜1$.
请仿照上述方法解分式不等式$\frac{x - 4}{3x + 5}\geqslant0$.

答案： 根据实数的除法法则，同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，且分母不能为$0$，
∴原不等式可转化为：
①$\begin{cases}x - 4 \geq 0, \\3x + 5 ＞ 0.\end{cases}$
或
②$\begin{cases}x - 4 \leq 0, \\3x + 5 ＜ 0.\end{cases}$
解不等式组①：
由$x - 4 \geq 0$，得$x \geq 4$；
由$3x + 5 ＞ 0$，得$x ＞ -\frac{5}{3}$；
综合两者，得$x \geq 4$。
解不等式组②：
由$x - 4 \leq 0$，得$x \leq 4$；
由$3x + 5 ＜ 0$，得$x ＜ -\frac{5}{3}$；
综合两者，得$x ＜ -\frac{5}{3}$。
∴原不等式的解集是$x ＜ -\frac{5}{3}$或$x \geq 4$。

22. (9分)请你阅读图中框内老师的新定义运算规定,然后解答下列各小题.
(1)若$x\oplus y = 1$,$x\oplus2y = - 2$,分别求出$x和y$的值；
(2)若$x满足x\oplus2\leqslant0$,且$3x\oplus(-8)＞0$,求$x$的取值范围.

答案：
(1) 根据定义：
$x \oplus y = 4x - 3y = 1$，
$x \oplus 2y = 4x - 3 × 2y = 4x - 6y = -2$，
列方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 1, \\4x - 6y = -2.\end{cases}$
两式相减得：
$3y = 3 \implies y = 1$，
代入第一式：
$4x - 3 × 1 = 1 \implies 4x = 4 \implies x = 1$，
所以 $x = 1$，$y = 1$。
(2) 根据定义：
$x \oplus 2 = 4x - 3 × 2 = 4x - 6 \leqslant 0$，
$3x \oplus (-8) = 4 × 3x - 3 × (-8) = 12x + 24 ＞ 0$，
列不等式组：
$\begin{cases}4x - 6 \leqslant 0, \\12x + 24 ＞ 0.\end{cases}$
解得：
$x \leqslant \frac{3}{2}$，
$x ＞ -2$，
所以 $x$ 的取值范围为：
$-2 ＜ x \leqslant \frac{3}{2}$。