《2025年初中同步练习册八年级数学上册青岛版北京教育出版社》

23. (9分)在学习分式计算时有这样一道题：先化简$(1 + \frac{1}{x - 2}) ÷ \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 4}$,再选取一个你喜欢且合适的数代入求值。张明同学的化简过程如下：
解：$(1 + \frac{1}{x - 2}) ÷ \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 4}$
$= \frac{x - 2 + 1}{x - 2} ÷ \frac{(x - 1)^{2}}{(x + 2)(x - 2)}$(分式加减法法则)
$= \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^{2}}$(分式除法法则)
$= \frac{x + 2}{x - 1}$。(分式乘法法则及约分)
(1)在括号中直接填入每一步的主要依据或知识点；
(2)如果你是张明同学,那么在选取你喜欢且合适的数进行求值时,你不能选取的数是什么？
不能选取的数是-2，1，2

答案：
(1)分式加减法法则；分式除法法则；分式乘法法则及约分
(2)不能选取的数是-2，1，2

24. (12分)某项工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天,需付甲工程队工程款1.5万元,乙工程队工程款1.1万元,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案：
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
③若甲、乙两队合作4天,余下的工程由乙队单独也正好如期完成。
据上述条件解决下列问题：
(1)规定期限是多少天？
(2)在不耽误工期的情况下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。

答案：
(1)设规定期限是$x$天，甲队工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队工作效率为$\frac{1}{x+5}$。
由方案③得：甲工作4天，乙工作$x$天，工作量之和为1，
方程：$\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$。
去分母：$4(x+5)+x^2=x(x+5)$，
化简：$4x+20+x^2=x^2+5x$，
解得：$x=20$。
经检验，$x=20$是原方程的解，规定期限是20天。
(2)不耽误工期，排除方案②。
方案①：甲单独做，费用$20×1.5=30$万元。
方案③：甲做4天，乙做20天，费用$4×1.5 + 20×1.1=6 + 22=28$万元。
$28＜30$，方案③最节省工程款。
答：
(1)规定期限是20天；
(2)方案③最节省工程款。