《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

8. 如图,$\odot O过五边形OABCD$的四个顶点.若$\overset{\frown}{ABD}的度数为150^{\circ}$,$\angle A = 65^{\circ}$,$\angle D = 60^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BC}$的度数为(B)

A.$25^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： B 解析:连接OB,OC(图略)，由半径相等得到三角形OAB、三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A = 65°,∠D = 60°，求出∠AOB与∠COD的度数。根据$\widehat {ABD}$的度数确定出∠AOD的度数，进而求出∠BOC的度数，即可确定出$\widehat {BC}$的度数。

9. 如图,$\odot O的直径AB = 4$,半径$OC\perp AB$,点$D在\overset{\frown}{BC}$上,$DE\perp OC$,$DF\perp AB$,垂足分别为$E$,$F$. 若点$E为OC$的中点,$\overset{\frown}{CD}$的度数为______.

答案：
$60^{\circ}$ 解析:如图，连接OD，交EF于点G。

∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OEDF是矩形。
∴EF = OD，OE = DF，OG = GD = GF = EG。
∵点E为OC的中点，OC = OD，
∴DF = OE = $\frac{1}{2}$OC = $\frac{1}{2}$OD = GO。
∴OE = OG = EG。
∴△OEG是等边三角形。
∴∠COD = $60^{\circ}$。
∴$\widehat {CD}$的度数为$60^{\circ}$。

10. 如图,$M$,$N分别为\odot O的弦AB$,$CD$的中点,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$. 求证：$\angle AMN = \angle CNM$.

答案： 证明:连接OM，ON(图略)。
∵M，N分别为$\odot O$的弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO = ∠CNO = $90^{\circ}$。
∵$\widehat {AB}=\widehat {CD}$，
∴AB = CD，
∴OM = ON，
∴∠OMN = ∠ONM，
∴∠AMO + ∠OMN = ∠CNO + ∠ONM，
即∠AMN = ∠CNM。

11. 如图,在$\odot O$中,$AB$为直径,半径$OC\perp AB$,弦$EF经过CO的中点D$,$EF// AB$.
(1) 求证：$\overset{\frown}{EC}= 2\overset{\frown}{EA}$；
(2) 若$\odot O的半径为R$,求$EF$的长.

答案：
(1)证明:连接OE(图略)。
∵OC⊥AB，EF//AB，
∴OC⊥EF。
又
∵D为CO的中点，
∴OD = $\frac{1}{2}$OC = $\frac{1}{2}$OE，
∴∠OED = $30^{\circ}$。
∴∠AOE = $30^{\circ}$，∠EOC = $60^{\circ}$。
∴∠EOC = 2∠AOE，
∴$\widehat {EC}=2\widehat {EA}$。
(2)解:
∵OE = R，
∴OD = $\frac{1}{2}$R。
在Rt△OED中，
ED = $\sqrt{OE^{2}-OD^{2}}=\sqrt{R^{2}-(\frac{1}{2}R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。
∵OC⊥EF，
∴EF = 2ED = $\sqrt{3}$R。

12. (推理论证)
(1) 如图①,在$\odot O$中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,且$C$,$D是\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$AB分别交OC$,$OD于点E$,$F$. 求证：$AE = BF = CD$.
(2) 在(1)题中,如果$\angle AOB = 120^{\circ}$,其他条件不变,如图②,那么(1)中的结论还成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由.

答案：
(1)证明:连接AC，BD(图略)。
∵C，D是$\widehat {AB}$的三等分点，
∴$\widehat {AC}=\widehat {CD}=\widehat {BD}$，
∴AC = CD = BD，∠AOC = ∠COD = ∠BOD。
∵∠AOB = $90^{\circ}$，
∴∠AOC = ∠COD = ∠BOD = $30^{\circ}$。
∵OA = OB，
∴∠OAB = ∠OBA = $45^{\circ}$。
∴∠AEC = ∠AOC + ∠OAB = $75^{\circ}$。
∵OA = OC，∠AOC = $30^{\circ}$，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}×(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}=∠AEC$。
∴AE = AC。同理可得BF = BD。
∴AE = BF = CD。
(2)解:成立。证明如下:
连接AC，BD(图略)。
∵C，D是$\widehat {AB}$的三等分点，
∴$\widehat {AC}=\widehat {CD}=\widehat {BD}$。
∴AC = CD = BD，∠AOC = ∠COD = ∠BOD。
∵∠AOB = $120^{\circ}$，
∴∠AOC = ∠COD = ∠BOD = $40^{\circ}$。
∵OA = OB，
∴∠OAB = ∠OBA = $30^{\circ}$。
∴∠AEC = ∠AOC + ∠OAB = $70^{\circ}$。
∵OA = OC，∠AOC = $40^{\circ}$，
∴∠ACE = $\frac{1}{2}×(180^{\circ}-40^{\circ}) = 70^{\circ}=∠AEC$。
∴AE = AC。同理可得BF = BD。
∴AE = BF = CD。