《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

8. 若抛物线 $ y = -2(x + m - 1)^2 - 3m + 6 $ 的顶点在第二象限,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m ＜ 1 $
B.$ m ＜ 2 $
C.$ m ＞ 1 $
D.$ 1 ＜ m ＜ 2 $

答案： D

9. 在平面直角坐标系中,如果抛物线 $ y = 3x^2 $ 不动,把 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别向上、向右平移 3 个单位长度,那么在新坐标系中此抛物线的解析式是(D)
A.$ y = 3(x - 3)^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - 3)^2 - 3 $
C.$ y = 3(x + 3)^2 + 3 $
D.$ y = 3(x + 3)^2 - 3 $

答案： D

10. 已知二次函数 $ y = (x - 3)^2 - 7 $。
(1)写出该函数图象的开口方向及顶点坐标；
(2)当 $ x $ 满足$x\leqslant 3$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(3)当 $ -1 \leq x \leq 4 $ 时,函数 $ y $ 的取值范围是$-7\leqslant y\leqslant 9$；
(4)当 $ y \geq 18 $ 时,自变量 $ x $ 的取值范围是$x\leqslant -2$或$x\geqslant 8$。

答案：
(1)二次函数$y=(x-3)^{2}-7$的图象开口向上,顶点坐标为$(3,-7)$.
(2)$x\leqslant 3$
(3)$-7\leqslant y\leqslant 9$
(4)$x\leqslant -2$或$x\geqslant 8$

11. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{3}(x - 3n)^2 + 4 - 2n $。
(1)求证：不论 $ n $ 取何值时,抛物线的顶点始终在一条直线上；
(2)若点 $ A(b + 2, a) $,$ B(6n + b - 4, a) $ 都在二次函数图象上,求证：$ a \geq \frac{5}{3} $。

答案：
(1)由题可得抛物线的顶点坐标为$(3n,4-2n)$.设$x=3n$,$y=4-2n=-\dfrac{2}{3}× 3n+4$,则$y=-\dfrac{2}{3}x+4$,$\therefore$不论$n$取何值时,抛物线的顶点始终在直线$y=-\dfrac{2}{3}x+4$上.
(2)由题可得$(b+2)+(6n+b-4)=6n$,则$b=1$,$\therefore A(3,a)$.把$(3,a)$代入$y=\dfrac{1}{3}(x-3n)^{2}+4-2n$,得$a=\dfrac{1}{3}(3-3n)^{2}+4-2n=3\left(n-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\dfrac{5}{3}\geqslant \dfrac{5}{3}$,$\therefore a\geqslant \dfrac{5}{3}$.

12. 某广场中心有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为 $ 1m $ 的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为 $ 3m $,此时距喷水管的水平距离为 $ \frac{1}{2}m $,求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)。
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答案： 解:由题意知点$\left(\dfrac{1}{2},3\right)$是抛物线的顶点,$\therefore$可设抛物线的函数解析式为$y=a\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+3$.$\because$抛物线经过点$(0,1)$,$\therefore 1=\left(0-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot a+3$,解得$a=-8$.$\therefore$抛物线水柱的函数解析式为$y=-8\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+3$.