《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,P 是直线 y = 2 上的一个动点,⊙P 的半径为 1,直线 OQ 切⊙P 于点 Q,则线段 OQ 的最小值为$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$　解析:如图，连接PQ,OP，
∵直线OQ切⊙P于点Q,
∴PQ⊥OQ.在Rt△OPQ中,$OQ=\sqrt{OP^2-PQ^2}=\sqrt{OP^2-1}$.当OP最小时，OQ最小，当OP垂直于直线y=2时,OP有最小值2，
∴OQ的最小值为$\sqrt{2^2-1}=\sqrt{3}$

8. 如图,AB 为⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,$\overset{\LARGE{\frown}}{AC}= \overset{\LARGE{\frown}}{CD}= \overset{\LARGE{\frown}}{DB}$,DE⊥AC,求证：DE 是⊙O 的切线.

答案： 证明:连接OD(图略),
∵$\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{DB}$,
∴∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°.
∵$\widehat{CD}=\widehat{DB}$,
∴∠EAD=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BOD=30°.
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAB=30°.
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∴∠EDA=60°.
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°.
∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,BD 是∠ABC 的平分线,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OB 长为半径的圆经过点 D,交 BC 于点 E.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)若 OB = 10,CD = 8,求 BE 的长.

答案：
(1)证明:连接OD,如图.
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2.又
∵OB,OD均为⊙O的半径，
∴OB=OD.
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OD//BC.,
∴∠ODA=∠C=90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:过圆心O作OF⊥BE于点F,如图,则四边形ODCF为矩形.在Rt△BOF中,OB=10,OF=CD=8,根据勾股定理可得$OB^2=BF^2+OF^2$,即$10^2=BF^2+8^2$,解得BF=6(负值舍去).由垂径定理可知,F为BE的中点，
∴BE=12.

10. 如图,AB 为⊙O 的直径,OC⊥AB 交⊙O 于点 C,D 为 OB 上一点,延长 CD 交⊙O 于点 E,延长 OB 至点 F,使 DF = FE,连接 EF.
(1)求证：EF 为⊙O 的切线；
(2)若 OD = 1,BD = BF,求⊙O 的半径.

答案：
(1)证明:如图，连接OE.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE.
∵DF=FE,
∴∠FED=∠FDE.
∵CO⊥AB,
∴∠COD=90°.
∴∠CDO+∠OCD=90°.
∵∠FDE=∠CDO,
∴∠FED+∠OEC=90°.
∴∠FEO=90°,即OE⊥FE.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线.
(2)解:由
(1)得∠OEF=90°.设⊙O的半径EO=BO=r,则BD=BF=r−1,
∴FE=DF=2BD=2r−2,OF=DF+OD=2r−2+1=2r−1.在Rt△FEO中,由勾股定理,得$FE^2+OE^2=OF^2$,
∴$(2r−2)^2+r^2=(2r−1)^2$.解得r=3或r=1(舍去),
∴⊙O的半径为3.