《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

8. 已知三角形的两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程$(x - 2)(x - 10)= 0$的一个实数根,则该三角形的面积是(B)
A.24或$2\sqrt{5}$
B.24
C.$2\sqrt{5}$
D.$8\sqrt{5}$或24

答案： B 解析:
∵(x-2)(x-10)=0,
∴x-2=0或x-10=0,解得x₁=2,x₂=10.当x=2时,
∵2+6=8,
∴不能构成三角形,舍去.当x=10时,
∵6+8＞10,
∴能构成三角形.此时该三角形的三边长为6,8,10.
∵6²+8²=10²,
∴该三角形是直角三角形,直角边为6和8.
∴该三角形的面积是$\frac{1}{2}×6×8=24$.

9. (规律总结)如图,这是一个三角形点阵图,从上到下有多行,其中第1行有$\frac{1×2}{2}$个点,前2行有$\frac{2×3}{2}$个点,前3行有$\frac{3×4}{2}$个点,前4行有$\frac{4×5}{2}$个点,…。

依照此规律,解答下列问题：
(1)前6行的点数和是______；
(2)前$n$行的点数和是______；
(3)在点阵中,前$n$行的点数和能是55吗？如果能,求出$n$的值；如果不能,请说明理由。
(1)21
(2)$\frac{n(n+1)}{2}$
(3)由题意得$\frac{n(n+1)}{2}=55$,整理,得n²+n-110=0,即(n+11)(n-10)=0,解得n₁=-11(舍去),n₂=10.答:前n行的点数和能是55,此时,n的值为10.

答案：
(1)第1行有$\frac{1×2}{2}$个点,前2行有$\frac{2×3}{2}$个点,前3行有$\frac{3×4}{2}$个点,前4行有$\frac{4×5}{2}$个点,……前6行的点数和是$\frac{6×7}{2}=21$.故答案为21.
(2)根据
(1)得,前n行的点数和是$\frac{n(n+1)}{2}$.故答案为$\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)由题意得$\frac{n(n+1)}{2}=55$,整理,得n²+n-110=0,即(n+11)(n-10)=0,解得n₁=-11(舍去),n₂=10.答:前n行的点数和能是55,此时,n的值为10.

10. 已知$□ ABCD的两边AB$,$AD的长是关于x的方程x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0$的两个根。
(1)$m$为何值时,$□ ABCD$是菱形？并求出菱形的边长。
(2)若$AB$边的长为2,求$□ ABCD$的周长。

答案：
(1)由题意,得Δ=0,即$m²-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m²-2m+1=0$,
∴m=1.
∴当m=1时,▱ABCD是菱形.此时原方程为$x²-x+\frac{1}{4}=0$,解得$x₁=x₂=\frac{1}{2}$,即菱形ABCD的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)将x=2代入方程$x²-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,得$4-2m+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$.
∴原方程为$x²-\frac{5}{2}x+1=0$.解得$x₁=2,x₂=\frac{1}{2}$,
∴$AD=\frac{1}{2}$.故▱ABCD的周长为$2×(2+\frac{1}{2})=5$.

11. (类比推理)阅读下面的例题与解答过程。
例：解方程：$x^{2}-|x|-2 = 0$。
解：原方程可化为$|x|^{2}-|x|-2 = 0$。
设$|x|= y$,则$y^{2}-y - 2 = 0$,
解得$y_{1}= 2$,$y_{2}= -1$。
当$y = 2$时,$|x|= 2$,$\therefore x= \pm2$；
当$y = -1$时,$|x|= -1$,此时无实数解。
$\therefore原方程的解是x_{1}= 2$,$x_{2}= -2$。
在上面的解答过程中,我们把$|x|$看成一个整体,用字母$y$代替(即换元)。这是解决数学问题的一种重要方法——换元法。请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解方程：$x^{2}-2x - 4|x - 1|+5 = 0$。

答案： 解:原方程可化为|x-1|²-4|x-1|+4=0.设|x-1|=a,则a²-4a+4=0,解得a₁=a₂=2,即|x-1|=2.
∴x=-1或x=3.
∴原方程的解是x₁=-1,x₂=3.