《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 为常数)关于直线 $ x = 1 $ 对称. 下列五个结论：
① $ abc ＞ 0 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；
④ $ am^{2} + bm ＞ a + b $；⑤ $ 3a + c ＞ 0 $. 其中正确的有(B)

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
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答案： 1. 首先分析抛物线的性质：
因为抛物线开口向上，所以$a\gt0$。
对称轴$x =-\frac{b}{2a}=1$，则$b=-2a\lt0$。
抛物线与$y$轴交点在$y$轴负半轴，所以$c\lt0$。
2. 然后判断①：
$abc\gt0$，因为$a\gt0$，$b\lt0$，$c\lt0$，所以$abc\gt0$，①**正确**。
3. 接着判断②：
由对称轴$x =-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，移项得$2a + b = 0$，②**正确**。
4. 再判断③：
因为抛物线关于$x = 1$对称，$x=-1$与$x = 3$时$y$值相等，$x=-1$时，$y=a - b + c$，$x = 2$时，$y = 4a+2b + c$。
又$x=-1$时，$y=a - b + c\gt0$（由图象可知），把$b=-2a$代入$y=a - b + c$得$y=a-(-2a)+c=3a + c\gt0$。
把$x = 2$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$y = 4a+2b + c$，因为$b=-2a$，所以$y = 4a+2×(-2a)+c=c\lt0$，③**错误**。
5. 然后判断④：
当$x = 1$时，$y$有最小值$y=a + b + c$，当$x = m$时，$y=am^{2}+bm + c$。
所以$am^{2}+bm + c\geqslant a + b + c$，即$am^{2}+bm\geqslant a + b$，当$m = 1$时取等号，④**错误**。
6. 最后判断⑤：
由$x=-1$时，$y=a - b + c\gt0$，把$b=-2a$代入$y=a - b + c$得$y=a-(-2a)+c=3a + c\gt0$，⑤**正确**。
综上，①②⑤正确，正确的有$3$个，答案是B。

2. 在中考体育训练期间,小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度 $ y $(m)与水平距离 $ x $(m)之间的关系式为 $ y = -\frac{1}{10}x^{2} + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5} $,由此可知小宇此次实心球训练的成绩为(B)
A.$ \frac{8}{5} $ m
B.8 m
C.10 m
D.2 m

答案： B

3. 已知函数 $ y = (m - 1)x^{m^{2} + 1} + 3x $ 为二次函数,则 $ m $ 的值是-1.

答案： -1

4. 【2024 淮南凤台期中】已知二次函数 $ y = ax^{2} - 2ax - 3a $($ a \neq 0 $).
(1)若 $ a = -1 $,则函数 $ y $ 的最大值为4；
(2)若 $ -1 \leq x \leq 4 $ 时,$ y $ 的最大值为 5,则 $ a $ 的值为1或$-\dfrac{5}{4}$.

答案：
(1)4
(2)1或$-\dfrac{5}{4}$

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图,则下列结论中不正确的是①②③(填序号).
① $ ac ＞ 0 $；
② 当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
③ $ b - 2a = 0 $；
④ $ x = 3 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根.

答案： ①②③

6. 已知函数 $ y = (m + 1)x^{m^{2} - 2m - 1} - 4x + 1 $($ m $ 为常数).
(1)当 $ m $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的二次函数？
(2)在(1)的条件下,求函数图象与 $ x $ 轴的交点坐标.

答案： 解:
(1)由题意,得$m^{2}-2m-1=2$且$m+1≠0$,解得$m=3$,
∴当$m=3$时,y是x的二次函数.
(2)
∵$m=3$,
∴$y=4x^{2}-4x+1$.令$y=0$,则$4x^{2}-4x+1=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\dfrac{1}{2}$.
∴函数图象与x轴的交点坐标为$\left( \dfrac{1}{2},0\right)$.