《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

9. 若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}^{2}-x_{1}+x_{2}$ 的值为(3)
A.$-1$
B.$0$
C.$2$
D.$3$

答案： D 解析:$\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x-1=0$的两个根,$\therefore x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}^{2}-2x_{1}-1=0$.
$\therefore x_{1}^{2}-x_{1}+x_{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}-1+x_{1}+1+x_{2}=1+x_{1}+x_{2}=1+2=3$.

10. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程 $2x^{2}+kx + 7 = 0$ 的两个根,且这个直角三角形的斜边上的中线长是 $\frac{3}{2}$,则 $k$ 的值是(-8)
A.$8$
B.$-8$
C.$8$ 或 $-8$
D.$4$ 或 $-4$

答案： B 解析:设三角形的两条直角边的长分别为$a,b$,
$\because$三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^{2}+kx+7=0$的两个根,
$\therefore a+b=-\dfrac{k}{2}$,$ab=\dfrac{7}{2}$.
$\because$这个直角三角形的斜边上的中线长是$\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$这个直角三角形的斜边的长为$2× \dfrac{3}{2}=3$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=3^{2}=9$.
$\therefore (a+b)^{2}-2ab=9$.
即$(-\dfrac{k}{2})^{2}-2× \dfrac{7}{2}=9$,解得$k=\pm 8$.
$\because a+b=-\dfrac{k}{2}＞0$,
$\therefore k＜0$.$\therefore k=-8$.

11. 【2024 安徽合肥期中】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m - 1)x + m + 2 = 0$。
(1)若方程有两个相等的实数根,求 $m$ 的值；
(2)若方程的两个实数根之积等于 $m^{2}-9m + 2$,求 $m$ 的值。

答案： 解:
(1)由题意得$\Delta =m^{2}-2m+1-4(m+2)=0$,
即$m^{2}-6m-7=0$,
解得$m_{1}=-1$,$m_{2}=7$.
$\therefore m$的值为$-1$或7.
(2)由题意得$x_{1}x_{2}=m+2$,
$\therefore m+2=m^{2}-9m+2$.
解得$m_{1}=0$,$m_{2}=10$.
当$m=0$时,$\Delta =-7＜0$,
$\therefore m=0$舍去.
当$m=10$时,$\Delta =33＞0$,
$\therefore m$的值为10.

12. 关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$。
(1)求证：无论 $k$ 为何值,方程总有实数根。
(2)设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$ 的两个根,记 $S= \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}$,$S$ 的值能为 $2$ 吗？若能,求出此时 $k$ 的值；若不能,请说明理由。

答案：
(1)证明:当$k=1$时,原方程可化为$2x+2=0$,解得$x=-1$,此时该方程有实数根;
当$k\neq 1$时,方程是一元二次方程.
$\because \Delta=(2k)^{2}-4(k-1)× 2=4k^{2}-8k+8=4(k-1)^{2}+4＞0$,$\therefore$方程有实数根.
综上所述,无论$k$为何值,方程总有实数根.
(2)解:能.由根与系数的关系可知,
$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2k}{k-1}$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{2}{k-1}$.
若$S=2$,则$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+x_{1}+x_{2}=2$,
即$\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}+x_{1}+x_{2}=2$,
将$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2k}{k-1}$,$x_{1}x_{2}=\dfrac{2}{k-1}$代入上式,整理得$k^{2}-3k+2=0$,解得$k=1$(舍去)或$k=2$.$\therefore k=2$.

13. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$ 的两个实数根。
(1)若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求 $m$ 的值；
(2)已知等腰三角形 $ABC$ 的一边长为 $7$,若 $x_{1},x_{2}$ 恰好是 $\triangle ABC$ 另外两边的长,求这个三角形的周长。

答案： 解:
(1)$\because x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的两个实数根,
$\therefore x_{1}+x_{2}=2(m+1)$,$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$.
$\therefore (x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=m^{2}+5-2(m+1)+1=28$.
$\therefore m^{2}-2m-24=0$.$\therefore (m-6)(m+4)=0$.
$\therefore m_{1}=6$,$m_{2}=-4$.
由题意得$\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+5)=8m-16\geqslant0$,$\therefore m\geqslant2$.$\therefore m=-4$不合题意.$\therefore m=6$.
(2)①当7为腰长时,另一腰长7为方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的一个根.
将$x=7$代入方程得$49-14(m+1)+m^{2}+5=0$,
整理得$m^{2}-14m+40=0$,
即$(m-4)(m-10)=0$,
$\therefore m_{1}=4$,$m_{2}=10$.
当$m=4$时,原方程为$x^{2}-10x+21=0$,
$\therefore (x-7)(x-3)=0$.
$\therefore x_{1}=7$,$x_{2}=3$,即底边长为3.
$\because 7,7,3$能组成三角形,
$\therefore$这个三角形的周长为$7+7+3=17$.
当$m=10$时,原方程为$x^{2}-22x+105=0$,
$\therefore (x-7)(x-15)=0$.
$\therefore x_{1}=7$,$x_{2}=15$,即底边长为15.
$\because 7,7,15$不能组成三角形,$\therefore$舍去.
②当7为底边长时,方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta=8m-16=0$,$\therefore m=2$.
此时方程为$x^{2}-6x+9=0$,
$\therefore (x-3)^{2}=0$.
$\therefore x_{1}=x_{2}=3$,即腰长为3.
$\because 7,3,3$不能组成三角形,$\therefore$舍去.
综上,这个三角形的周长为17.

14. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $(a - 6)x^{2}+2ax + a = 0$ 的两个实数根。
(1)是否存在实数 $a$,使 $-x_{1}+x_{1}x_{2}= 4 + x_{2}$ 成立？若存在,求出 $a$ 的值；若不存在,请说明理由。
(2)求使 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)$ 为负整数的实数 $a$ 的整数值。

答案： 解:
(1)存在.根据题意,得$\Delta=(2a)^{2}-4× a(a-6)=24a\geqslant0$,解得$a\geqslant0$.
又$a-6\neq0$,$\therefore a\neq6$.
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2a}{a-6}$,
$x_{1}x_{2}=\dfrac{a}{a-6}$.
$\because -x_{1}+x_{1}x_{2}=4+x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}+4=x_{1}x_{2}$.
$\therefore -\dfrac{2a}{a-6}+4=\dfrac{a}{a-6}$,解得$a=24$.
经检验,$a=24$是方程$-\dfrac{2a}{a-6}+4=\dfrac{a}{a-6}$的解,且符合题意.$\therefore a=24$.
(2)$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+1=-\dfrac{2a}{a-6}+\dfrac{a}{a-6}+1=\dfrac{6}{6-a}$,$\therefore \dfrac{6}{6-a}$为负整数.
$\because a$为整数,$\therefore 6-a=-1$或$-2$或$-3$或$-6$.
$\therefore a=7$或8或9或12.