《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

13. 【2024 安徽安庆期中】某次项目式学习研究中,智慧小组的研究如下：
| 素材 1 | 下图为奖杯的设计稿,设计稿的上半部分呈抛物线形,抛物线的最低点为 $ C $,$ A $ 与 $ B $ 均为最高点,且 $ A $,$ B $ 两点之间的距离为 $ 16 $ cm,点 $ A $ 到杯底 $ EF $ 的竖直高度为 $ 24 $ cm；下半部分是一个等腰三角形底座 $ CEF $,$ CD \perp EF $ 于点 $ D $,图中所有的点都在同一平面内. |
| 素材 2 | 以杯底 $ EF $ 所在直线为 $ x $ 轴,过点 $ A $ 且垂直于 $ EF $ 的直线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系,如图,抛物线部分满足函数关系式：$ y = \frac{1}{4}x^{2} + bx + c $($ b $,$ c $ 为常数). |
| 素材 3 | 在距离杯底的竖直高度为 $ 12 $ cm 的 $ M $,$ N $ 两点处贴上装饰图案(点 $ M $ 在点 $ N $ 的左侧,图案大小忽略不计). |

【任务解决】
(1)求该奖杯抛物线部分的函数解析式；
(2)求抛物线最低点 $ C $ 到杯底 $ EF $ 的竖直高度 $ CD $；
(3)求 $ M $,$ N $ 两点之间的水平距离.
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答案： 解:
(1)根据题意,可得$A(0,24)$,
∴$c=24$.
∵A,B两点之间的距离为16 cm,
∴抛物线的对称轴为直线$x=8$.
∴$-\dfrac{b}{2×\dfrac{1}{4}}=8$,解得$b=-4$.
∴抛物线部分的函数解析式为$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-4x+24$.
(2)当$x=8$时,$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-4x+24=8$,
∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8 cm.
(3)在$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-4x+24$中,令$y=12$,得$\dfrac{1}{4}x^{2}-4x+24=12$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=12$,
∴$M(4,12)$,$N(12,12)$.
∴$MN=12-4=8(cm)$,即M,N两点之间的水平距离为8 cm.

14. 如图,隧道的横截面由抛物线和矩形 $ OABC $ 构成. 矩形一边 $ OA $ 的长是 $ 12 $ m,另一边 $ OC $ 的长是 $ 1 $ m. 抛物线上的最高点 $ D $ 到地面 $ OA $ 的距离为 $ 7 $ m. 以 $ OA $ 所在直线为 $ x $ 轴,$ OC $ 所在直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线所对应的函数解析式.
(2)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度为 $ 5 $ m,求两排灯之间的水平距离.
(3)隧道内车辆双向通行,规定车辆必须在中心线两侧行驶,并保持车辆顶部与隧道有不少于 $ \frac{1}{3} $ m 的空隙. 现有一辆货运汽车,在隧道内距离道路边缘 $ 2 $ m 处行驶,求这辆货运汽车在不违规的情况下载物后的最大高度.
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答案： 解:
(1)由题意可知$C(0,1)$,$D(6,7)$.设抛物线所对应的函数解析式为$y=a(x-6)^{2}+7$,将(0,1)代入上式,得$36a+7=1$,解得$a=-\dfrac{1}{6}$,所以抛物线所对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^{2}+7$.
(2)把$y=5$代入$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^{2}+7$中,得$-\dfrac{1}{6}(x-6)^{2}+7=5$,解得$x_{1}=6+2\sqrt{3}$,$x_{2}=6-2\sqrt{3}$,$6+2\sqrt{3}-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}$,所以两排灯之间的水平距离为$4\sqrt{3}\ m$.
(3)把$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^{2}+7$中,得$y=-\dfrac{1}{6}(2-6)^{2}+7=\dfrac{13}{3}$,$\dfrac{13}{3}-\dfrac{1}{3}=4(m)$,所以这辆货运汽车在不违规的情况下载物后的最大高度为4 m.