《2025年新编基础训练九年级数学上册人教版》

9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + c)x^{2} + 2bx + (a - c) = 0 $,其中 $ a,b,c $ 分别为 $ \triangle ABC $ 三边的长.
(1)如果 $ x = - 1 $ 是方程的根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由;
(3)如果 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案：
(1)△ABC是等腰三角形.
理由:
∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)²-2b+(a-c)=0.
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0.
∴a=b.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.
理由:
∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)²-4(a+c)(a-c)=0.
∴4b²-4a²+4c²=0,
∴a²=b²+c².
∴△ABC是直角三角形.
(3)当△ABC是等边三角形时,(a+c)x²+2bx+(a-c)=0可整理为2ax²+2ax=0.
∵a≠0,
∴x²+x=0.解得x₁=0,x₂=-1.

10. 【2024 安徽黄山期末】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - (k - 3)x + k - 5 = 0 $.
(1)求证:无论实数 $ k $ 取什么值,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)当 $ k = 11 $ 时,该方程的两个根分别是菱形 $ ABCD $ 的两条对角线的长,求菱形 $ ABCD $ 的面积.

答案：
(1)证明:Δ=[-(k-3)]²-4×1×(k-5)=k²-10k+29=(k-5)²+4,
∴Δ＞0.
∴无论实数k取什么值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:当k=11时,原方程为x²-8x+6=0,
Δ=(-8)²-4×1×6=40,
∴x=$\frac{8±\sqrt{40}}{2}$=4±$\sqrt{10}$.
∴x₁=4+$\sqrt{10}$,x₂=4-$\sqrt{10}$.
∴S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$×(4+$\sqrt{10}$)×(4-$\sqrt{10}$)=3.

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 6x + (2m + 1) = 0 $ 有实数根.
(1)求 $ m $ 的取值范围;
(2)如果方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} \geq 20 $,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
(1)根据题意,得Δ=(-6)²-4(2m+1)≥0,
解得m≤4.
∴m的取值范围是m≤4.
(2)根据题意,得x₁+x₂=6,x₁x₂=2m+1.
∵2x₁x₂+x₁+x₂≥20,
∴2(2m+1)+6≥20,解得m≥3.
又m≤4,
∴m的取值范围为3≤m≤4.

12. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} = 0 $ 的两个实数根.
(1)若 $ (x_{1} - 2)(x_{2} - 2) = 41 $,求 $ m $ 的值;
(2)已知等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 9,若 $ x_{1},x_{2} $ 恰好是 $ \triangle ABC $ 另外两边的长,求这个三角形的周长.

答案：
(1)
∵x₁,x₂是关于x的一元二次方程x²-2(m+2)x+m²=0的两个实数根,
∴x₁+x₂=2(m+2),x₁x₂=m².
∴(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=m²-4(m+2)+4=m²-4m-4=41.
∴m²-4m-45=0,解得m₁=9,m₂=-5.
当m=9时,方程为x²-22x+81=0.
∵Δ=(-22)²-4×81=160＞0,
∴符合题意.
当m=-5时,方程为x²+6x+25=0.
∵Δ=6²-4×25=-64＜0,
∴不符合题意.
故m的值为9.
(2)①当9为底边长时,方程x²-2(m+2)x+m²=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4(m+2)²-4m²=0,解得m=-1.
∴方程变为x²-2x+1=0,解得x₁=x₂=1.
∵1+1＜9,
∴不能构成三角形.
②当9为腰长时,
把x=9代入方程得81-18(m+2)+m²=0,
解得m=15或m=3.
当m=15时,方程变为x²-34x+225=0,
解得x=9或x=25.
∵9+9＜25,
∴不能构成三角形.
当m=3时,方程变为x²-10x+9=0,
解得x=1或x=9.
∴这个三角形的三边长为1,9,9.
∴这个三角形的周长为9+9+1=19.
综上所述,这个三角形的周长为19.