《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ CD \perp AB $ 于点 $ D $, $ BE \perp AC $ 于点 $ G $, $ F $ 是 $ CD $ 上一点, $ AB = CF $, $ BE = AC $.
(1) 求证: $ AE = AF $;
(2) 求 $ \angle EAF $ 的度数.

答案： 21.
(1)证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC，
所以∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，
所以∠ACD=∠EBA.
在△AEB和△FAC中，
AB=FC，
∠EBA=∠ACF，
BE=CA，
所以△AEB≌△FAC(SAS).
所以AE=AF.
(2)解:因为△AEB≌△FAC，
所以∠E=∠CAF.
因为∠E+∠EAG=90°，
所以∠CAF+∠EAG=90°，
即∠EAF=90°.

22. (10 分) 图①是一个平分角的仪器,其中 $ OD = OE $, $ FD = FE $.
(1) 如图②,将仪器放置在 $ \triangle ABC $ 上,使点 $ O $ 与顶点 $ A $ 重合, $ D $, $ E $ 分别在边 $ AB $, $ AC $ 上,沿 $ AF $ 画一条射线 $ AP $,交 $ BC $ 于点 $ P $. $ AP $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线吗? 请判断并说明理由.
(2) 如图③,在(1)的条件下,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp AB $ 于点 $ Q $,若 $ PQ = 4 $, $ AC = 8 $, $ \triangle ABC $ 的面积是 36,求 $ AB $ 的长.

答案： 22.解:
(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下:
在△ADF和△AEF中，
AD=AE，
FD=FE，
AF=AF，
所以△ADF≌△AEF(SSS).
所以∠DAF=∠EAF，
所以AP是∠BAC的平分线.
(2)过点P作PG⊥AC于点G(图略).
因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB，
所以PG=PQ=4.
因为S△ABC=S△ABP+S△APC=$\frac{1}{2}$AB·PQ+$\frac{1}{2}$AC·PG，
所以$\frac{1}{2}$AB×4+$\frac{1}{2}$×8×4=36.
所以AB=10.

23. (10 分) 在复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:如图①,已知在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ P $ 是 $ \triangle ABC $ 内部任意一点,将 $ AP $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转至 $ AQ $,使 $ \angle QAP = \angle BAC $,连接 $ BQ $, $ CP $,则 $ BQ = CP $.
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了 $ \triangle ABQ \cong \triangle ACP $,从而证得 $ BQ = CP $ 之后,将点 $ P $ 移到 $ \triangle ABC $ 之外,原题中的条件不变,发现“ $ BQ = CP $”仍然成立,请你就图②给出证明.

答案： 23.解:因为∠QAP=∠BAC，
所以∠QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP，
即∠QAB=∠PAC.
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP，
∠QAB=∠PAC，
AB=AC，
所以△QAB≌△PAC(SAS).
所以BQ=CP.