《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠A = 90^{\circ}$，$CD$，$BE$是角平分线，它们相交于点$F$，$EG// BC$，$CG⊥EG$，垂足为$G$.
（1）求$∠BFD$的度数；
（2）求证：$∠ADC = ∠GCD$.

答案： 21.
(1)∠BFD=45°.
(2)证明:因为EG//BC,CG⊥EG,
所以CG⊥BC,所以∠BCG=90°.
因为CD平分∠ACB,
所以∠ACD=∠BCD.
因为∠ADC+∠ACD=∠GCD+∠BCD=90°,所以∠ADC=∠GCD.

22. (10 分)如图，$P$是$\triangle ABC$内一点，连接$PB$，$PC$.
(1)当$∠1 = \dfrac{1}{2}∠ABC$，$∠2 = \dfrac{1}{2}∠ACB$时，$∠P$与$∠A$之间的数量关系是∠P=90°+$\frac{1}{2}∠A$.
(2)当$∠1 = \dfrac{1}{3}∠ABC$，$∠2 = \dfrac{1}{3}∠ACB$时，$∠P$与$∠A$的数量关系是什么？请说明理由.
(3)当$∠1 = \dfrac{1}{n}∠ABC$，$∠2 = \dfrac{1}{n}∠ACB$时，请直接写出$∠P$与$∠A$的数量关系.

答案： 22.
(1)∠P=90°+$\frac{1}{2}∠A$
(2)∠P=120°+$\frac{1}{3}∠A$.理由如下:
因为∠1=$\frac{1}{3}∠ABC$,∠2=$\frac{1}{3}∠ACB$,
所以∠1+∠2=$\frac{1}{3}(180°-∠A)$=60°-$\frac{1}{3}∠A$,所以∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-$(60°-\frac{1}{3}∠A)$=120°+$\frac{1}{3}∠A$.
(3)∠P=180°-$\frac{180°}{n}$+$\frac{1}{n}∠A$.

23. (12 分)如图，$∠AOB = 90^{\circ}$，点$C$，$D$分别在射线$OA$，$OB$上，$CE$是$∠ACD$的平分线，$CE$的反向延长线与$∠CDO$的平分线交于点$F$.
（1）当$∠OCD = 50^{\circ}$（如图①）时，求$∠F$的度数.
（2）当$C$，$D$在射线$OA$，$OB$上任意移动时（不与点$O$重合）（如图②），$∠F$的大小是否变化？请说明理由.

答案： 23.
(1)因为∠AOB=90°,∠OCD=50°,
所以∠CDO=40°,∠ACD=130°.
因为CE是∠ACD的平分线,DF是∠CDO的平分线,
所以∠ECD=65°,∠CDF=20°.
因为∠ECD=∠F+∠CDF,
所以∠F=45°.
(2)∠F的大小不变.理由如下:
因为∠AOB=90°,
所以∠CDO=90°-∠OCD,∠ACD=180°-∠OCD.
因为CE是∠ACD的平分线,DF是∠CDO的平分线,
所以∠ECD=90°-$\frac{1}{2}∠OCD$,∠CDF=45°-$\frac{1}{2}∠OCD$.
因为∠ECD=∠F+∠CDF,
所以∠F=45°.
所以∠F的大小不变.