《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

21. (10 分)如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle BAC = 30^{\circ} $，分别以 $ AB $，$ AC $ 为边在 $ \triangle ABC $ 的外侧作等边三角形 $ ABE $ 和等边三角形 $ ACD $，连接 $ DE $，与 $ AB $ 交于点 $ F $，求证：$ EF = FD $.

答案：
21.证明:如图,过点E作EG⊥AB于点G.

因为△ABE是等边三角形,
所以AG=$\frac{1}{2}$AB.
因为在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
所以BC=$\frac{1}{2}$AB,
所以AG=BC.
又因为AE=AB,
所以Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),
所以EG=AC=AD.
因为△ACD是等边三角形,
所以∠CAD=60°,
所以∠DAB=90°,
所以∠DAB=∠EGA.
又因为∠EFG=∠DFA,
所以△EFG≌△DFA(AAS),
所以EF=FD.

22. (12 分)【建立模型】如图①，在 $ \angle A $ 内部有一点 $ P $，连接 $ BP $，$ CP $，求证：$ \angle BPC = \angle 1 + \angle A + \angle 2 $；
【尝试应用】如图②，利用上面的结论，直接写出五角星中，$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E $ 的度数；
【拓展创新】如图③，将五角星截去一个角后多出一个角，求 $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle G $ 的度数；
【提升思维】如图④，将五角星的每个角都截去，则一共得到 10 个角，则 $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G + \angle H + \angle I + \angle J = $1080$ $.

答案：
22.【建立模型】证明:延长BP交AC于点M,如图①所示.

由三角形外角性质得∠BPC=∠1+∠PMC,∠PMC=∠A+∠2,
所以∠BPC=∠1+∠A+∠2.
【尝试应用】解:设BD与CE相交于点N,如图②所示.

由【建立模型】得∠CND=∠A+∠C+∠D.
因为∠BNE=∠CND,
所以∠BNE=∠A+∠C+∠D.
在△BEN中,∠BNE+∠B+∠E=180°,
所以∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°.
【拓展创新】解:延长CA与DG相交于点K,如图③所示.

因为∠CAG=180°-∠KAG,∠DGA=180°-∠KGA,
所以∠CAG+∠DGA=360°-(∠KAG+∠KGA).
在△KAG中,∠KAG+∠KGA=180°-∠K,
所以∠CAG+∠DGA=360°-(180°-∠K)=180°+∠K.
由【尝试应用】得∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,
所以∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DGA=∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°=360°.
【提升思维】解:由【拓展创新】得当五角星去掉一个角,多出一个角时,此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°,所以当五角星去掉五个角后多出五个角,此时所有角的和的度数为180°+5×180°=1080°.
故答案为1080°.

23. (12 分)在综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.已知条件如下：如图①，直线 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 两两相交于 $ A $，$ B $，$ C $ 三点，且 $ \triangle ABC $ 是等边三角形，点 $ E $ 是直线 $ AC $ 上的一动点(点 $ E $ 不与点 $ A $，$ C $ 重合)，点 $ F $ 在直线 $ BC $ 上，连接 $ BE $，$ EF $，使 $ EF = BE $.
(1) 张老师首先提出了这样一个问题：如图①，当 $ E $ 是线段 $ AC $ 的中点时，确定线段 $ AE $ 与 $ CF $ 的数量关系，请你直接写出结论：$ AE $ $$=$$ $ CF $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)。
(2) “奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点 $ E $ 是线段 $ AC $ 上的任意一点，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图②，过点 $ E $ 作 $ ED // BC $，交 $ AB $ 于点 $ D $.请你补充完整证明过程.
(3) “缜密”小组提出的问题是：若动点 $ E $ 的运动位置如图③所示，其他条件不变，请根据题意补全图形，判断线段 $ AE $ 与 $ CF $ 的数量关系是否发生变化，并给出证明.

答案：
23.解:
(1)因为△ABC是等边三角形,点E为AC的中点,
所以∠EBC=30°,AE=CE.
因为BE=EF,
所以∠BFE=30°,
所以∠CEF=∠ACB-∠EFC=60°-30°=30°,
所以CE=CF,所以AE=CF.
故答案为=.
(2)补充如下:
由题意,得∠ADE=∠ABC=∠BAC=60°,
所以△ADE是等边三角形,
所以AE=DE=AD,∠BDE=∠ECF=120°,
所以BD=CE.
因为EF=BE,所以∠CFE=∠EBF.
因为DE//BC,所以∠DEB=∠EBF,
所以∠DEB=∠CFE,所以△BDE≌△ECF(AAS),所以DE=CF.
因为DE=AE,所以AE=CF.
(3)补全图形如图,线段AE与CF的数量关系不变.

证明如下:
如图,过点E作ED//BC,交AB于点D,
所以∠ADE=∠ABC=∠BAC=60°,∠DEB=∠EBF,
所以△ADE是等边三角形,∠BDE=∠ECF=60°,
所以AE=DE=AD.
因为EF=BE,所以∠EFB=∠EBF,
所以∠DEB=∠EFC,
所以△BDE≌△ECF(AAS),
所以DE=CF.
因为DE=AE,所以AE=CF.