《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

17. (8 分)将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,等腰直角三角形$ABC$的斜边$BC$与含$30^{\circ}$角的直角三角形$DBE$的直角边$BD$长度相同,且斜边$BC$与$BE$在同一直线上,$AC$与$BD$相交于点$O$,连接$CD$.求证:$\triangle CDO$是等腰三角形.

答案： 17.证明:因为在△BDC中,BC=BD,所以∠BDC=∠BCD.因为∠DBE=30°,所以∠BDC=∠BCD=75°.因为∠ACB=45°,所以∠DOC=∠DBE+∠ACB=30°+45°=75°.所以∠DOC=∠BDC,所以△CDO是等腰三角形.

18. (9 分)如图,在等边三角形$ABC$中,$D$是$AC$的中点,$E$是$BC$延长线上的一点,且$CE = CD$,$DM\perp BC$,垂足为$M$.求证:$M$是$BE$的中点.

答案：
18.证明:如图,连接BD.因为等边三角形ABC中,D是AC的中点,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,∠ACB=60°.因为CE=CD,所以∠E=∠CDE.又因为∠ACB=∠E+∠CDE,所以∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,所以∠DBC=∠E=30°,所以DB=DE.又因为DM⊥BC,所以M是BE的中点.

19. (9 分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E$为$CD$的中点,连接$AE$,$BE$,$BE\perp AE$,延长$AE$交$BC$的延长线于点$F$.求证:
(1)$CF = AD$;
(2)$AB = BC + AD$.

答案： 19.
(1)证明:因为AD//BC,所以∠ADE=∠FCE.因为E是CD的中点,所以DE=CE.在△ADE与△FCE中,{∠ADE=∠FCE,DE=CE,∠AED=∠FEC,所以△ADE≌△FCE(ASA),所以CF=AD.
(2)证明:因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.又因为BE⊥AE,所以BE是线段AF的垂直平分线,所以AB=BF=BC+CF.因为CF=AD,所以AB=BC+AD.

20. (9 分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD = BC$,$\angle A = \angle B$,$E$为$AB$的中点,连接$CE$,$DE$.
(1)求证:$\triangle ADE\cong\triangle BCE$.
(2)若$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle BCE = 60^{\circ}$,求$\angle CDE$的度数.

答案： 20.
(1)证明:因为E为AB的中点,所以AE=BE.又因为AD=BC,∠A=∠B,所以△ADE≌△BCE.
(2)解:由
(1)得△ADE≌△BCE,所以DE=EC,∠ADE=∠BCE=60°,∠AED=∠BEC.因为∠A=∠B=70°,所以∠AED=∠BEC=180°-60°-70°=50°,所以∠DEC=180°-50°-50°=80°.因为DE=EC,所以∠CDE=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°.