搜索
22. (10 分)(新定义题)定义：$L(A)$是多项式$A$化简后的项数。例如多项式$A = x^{2}+2x - 3$，则$L(A)=3$。一个多项式$A$乘多项式$B$，化简得到多项式$C$（即$C = A× B$），若$L(A)\leq L(C)\leq L(A)+1$，则称$B$是$A$的“友好多项式”；若$L(A)=L(C)$，则称$B$是$A$的“特别友好多项式”。
(1) 若$A = x - 2$，$B = x + 3$，则$B$是不是$A$的“友好多项式”？说明理由。
(2) 若$A = x - 2$，$B = x^{2}+ax + 4$是关于$x$的多项式，且$B$是$A$的“特别友好多项式”，求$a$的值。
(1) 若$A = x - 2$，$B = x + 3$，则$B$是不是$A$的“友好多项式”？说明理由。
(2) 若$A = x - 2$，$B = x^{2}+ax + 4$是关于$x$的多项式，且$B$是$A$的“特别友好多项式”，求$a$的值。
答案：
22.解:
(1)B 是 A 的"友好多项式".理由如下:
因为$(x-2)(x+3)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$,$x^{2}+x-6$的项数比 A 的项数多1,
所以 B 是 A 的"友好多项式".
(2)a 的值是 2.
(1)B 是 A 的"友好多项式".理由如下:
因为$(x-2)(x+3)=x^{2}-2x+3x-6=x^{2}+x-6$,$x^{2}+x-6$的项数比 A 的项数多1,
所以 B 是 A 的"友好多项式".
(2)a 的值是 2.
23. (12 分)学习了“平方差公式”和“完全平方公式”后，灵活运用乘法公式往往能化繁为简，巧妙解题。
【初步尝试】
(1) 已知$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-P=(x - y)^{2}+Q$，则$P=$
【灵活运用】
(2) 由(1)可知，$a + b$，$a - b$，$a^{2}+b^{2}$，$ab$这四个代数式之间具有一定的关系。
例如，当$a$，$b$为正数时，如果$a - b = 3$，$ab = 10$，那么$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+$
(3) 已知长和宽分别为$a$，$b$的长方形，它的周长为 22，面积为 30，如图所示，求$a^{2}+b^{2}-ab$的值。
【解决问题】
(4) 某学校“行知农场”开辟出一块边长为$11m$的正方形菜地，计划种植黄瓜与西红柿两种蔬菜。兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为$a m$，$b m$的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为$2m$，每个长方形的面积为$35m^{2}$，如图所示，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植西红柿，请求出黄瓜的种植面积。
【初步尝试】
(1) 已知$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-P=(x - y)^{2}+Q$，则$P=$
2xy
，$Q=$2xy
。【灵活运用】
(2) 由(1)可知，$a + b$，$a - b$，$a^{2}+b^{2}$，$ab$这四个代数式之间具有一定的关系。
例如，当$a$，$b$为正数时，如果$a - b = 3$，$ab = 10$，那么$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+$
4ab
，所以$a + b=$7
。(3) 已知长和宽分别为$a$，$b$的长方形，它的周长为 22，面积为 30，如图所示，求$a^{2}+b^{2}-ab$的值。
【解决问题】
(4) 某学校“行知农场”开辟出一块边长为$11m$的正方形菜地，计划种植黄瓜与西红柿两种蔬菜。兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为$a m$，$b m$的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为$2m$，每个长方形的面积为$35m^{2}$，如图所示，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植西红柿，请求出黄瓜的种植面积。
答案：
23.解:【初步尝试】
(1)因为$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-P,$
所以$P=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})$
$=x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}-y^{2}=2xy.$
因为$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+Q,$
所以$Q=(x^{2}+y^{2})-(x-y)^{2}$
$=x^{2}+y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}=2xy.$
故答案为$2xy;2xy.$
【灵活运用】
(2)由
(1)可知$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab.$
因为$a-b=3,ab=10,$
所以$(a+b)^{2}=3^{2}+4×10=49.$
因为a,b 为正数,
所以$a+b=7.$
故答案为$4ab;7.$
(3)由长和宽分别为 a,b 的长方形,它的周长为 22,面积为 30,可知$2(a+b)=22,$
$ab=30,$
所以$a+b=11,$
所以$a^{2}+b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab=11^{2}-3×30=31.$
(4)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b=2,\\ ab=35,\end{array}\right. $
所以$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab=2^{2}+4×35=144,$
所以$a+b=12,$
所以阴影部分的面积为$(11-a)^{2}+(11-b)^{2}+(a+b-11)^{2}$
$=a^{2}+b^{2}-22(a+b)+242+(a+b-11)^{2}$
$=(a+b)^{2}-2ab-22(a+b)+242+(a+b-11)^{2}$
$=144-2×35-22×12+242+(12-11)^{2}$
$=53(m^{2}).$
所以黄瓜的种植面积为$53m^{2}.$
(1)因为$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-P,$
所以$P=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})$
$=x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}-y^{2}=2xy.$
因为$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+Q,$
所以$Q=(x^{2}+y^{2})-(x-y)^{2}$
$=x^{2}+y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}=2xy.$
故答案为$2xy;2xy.$
【灵活运用】
(2)由
(1)可知$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab.$
因为$a-b=3,ab=10,$
所以$(a+b)^{2}=3^{2}+4×10=49.$
因为a,b 为正数,
所以$a+b=7.$
故答案为$4ab;7.$
(3)由长和宽分别为 a,b 的长方形,它的周长为 22,面积为 30,可知$2(a+b)=22,$
$ab=30,$
所以$a+b=11,$
所以$a^{2}+b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab=11^{2}-3×30=31.$
(4)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b=2,\\ ab=35,\end{array}\right. $
所以$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab=2^{2}+4×35=144,$
所以$a+b=12,$
所以阴影部分的面积为$(11-a)^{2}+(11-b)^{2}+(a+b-11)^{2}$
$=a^{2}+b^{2}-22(a+b)+242+(a+b-11)^{2}$
$=(a+b)^{2}-2ab-22(a+b)+242+(a+b-11)^{2}$
$=144-2×35-22×12+242+(12-11)^{2}$
$=53(m^{2}).$
所以黄瓜的种植面积为$53m^{2}.$
查看更多完整答案，请扫码查看
