《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

17. (8 分) 如图, $ AB = AC $, $ AD \perp BC $ 于点 $ D $, $ AD = AE $, $ AB $ 平分 $ \angle DAE $ 交 $ DE $ 于点 $ F $,连接 $ BE $.请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

答案： 17.解:△ABD≌△ACD,△AEF≌△ADF,△AEB≌△ADB(答案不唯一).
选取△ABD≌△ACD.证明如下:
因为AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB=AC，
AD=AD，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).

18. (9 分) 如图,利用尺规,在 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $ 上方作 $ \angle CAE = \angle ACB $,在射线 $ AE $ 上截取 $ AD = BC $,连接 $ CD $,并证明 $ AB // CD $.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)

答案：
18.解:如图所示.

证明:因为∠CAE=∠ACB,AD=BC，
AC=CA，
所以△ACD≌△CAB(SAS).
所以∠ACD=∠CAB，
所以AB//CD.

19. (10 分) 如图,已知长方形 $ ABCD $ 中, $ F $ 是 $ BC $ 上一点,且 $ AF = BC $, $ DE \perp AF $ 于点 $ E $,连接 $ DF $.
求证:(1) $ \triangle ABF \cong \triangle DEA $;
(2) $ DF $ 是 $ \angle EDC $ 的平分线.

答案： 19.证明:
(1)因为AF=BC,BC=AD，
所以AF=AD.
因为DE⊥AF,∠B=90°，
所以∠B=∠AED.
因为AD//CB,所以∠AFB=∠DAE.
在△ABF和△DEA中，
∠B=∠AED，
∠AFB=∠DAE，
AF=DA，
所以△ABF≌△DEA(AAS).
(2)由
(1),得AE=BF,所以AF - AE=
BC - BF,即FE=FC.
因为DE⊥AF,DC⊥CF，
所以DF是∠EDC的平分线.

20. (10 分) 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle AED $ 中, $ AB = AC $, $ AE = AD $, $ \angle BAC = \angle EAD $,且点 $ E $, $ A $, $ B $ 在同一条直线上,点 $ C $, $ D $ 在 $ EB $ 的同侧,连接 $ BD $, $ CE $ 交于点 $ M $.
(1) 求证: $ \triangle ABD \cong \triangle ACE $;
(2) 若 $ \angle CAD = 100^{\circ} $,求 $ \angle DME $ 的度数.

答案： 20.
(1)证明:因为∠BAC=∠EAD，
所以∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC,即∠DAB=∠EAC.
在△ABD和△ACE中，
AD=AE，
∠DAB=∠EAC，
AB=AC，
所以△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:因为∠BAC=∠EAD,∠CAD=100°，
所以∠BAC=∠EAD=40°.
因为∠BAC是△EAC的一个外角，
所以∠BAC=∠AEC+∠ACE=40°.
因为△ABD≌△ACE，
所以∠ECA=∠DBA.
因为∠DME是△BME的一个外角，
所以∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=40°.