搜索
21. (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$AD$平分$\angle CAB$,延长$AC$至点$E$,使$CE = AC$.
(1)求证:$DE = DB$;
(2)连接$BE$,试判断$\triangle ABE$的形状,并说明理由.
(1)求证:$DE = DB$;
(2)连接$BE$,试判断$\triangle ABE$的形状,并说明理由.
答案：
21.
(1)证明:因为∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以BC⊥AE,∠CAB=60°.因为AD平分∠CAB,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°=∠ABC,所以DA=DB.因为CE=AC,所以BC是线段AE的垂直平分线,所以DE=DA,所以DE=DB.
(2)解:△ABE是等边三角形.理由如下:因为BC是线段AE的垂直平分线,所以BA=BE,即△ABE是等腰三角形.又因为∠CAB=60°,所以△ABE是等边三角形.
(1)证明:因为∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以BC⊥AE,∠CAB=60°.因为AD平分∠CAB,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°=∠ABC,所以DA=DB.因为CE=AC,所以BC是线段AE的垂直平分线,所以DE=DA,所以DE=DB.
(2)解:△ABE是等边三角形.理由如下:因为BC是线段AE的垂直平分线,所以BA=BE,即△ABE是等腰三角形.又因为∠CAB=60°,所以△ABE是等边三角形.
22. (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$是$BC$边上的中点,连接$AD$,$BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF// BC$交$AB$于点$F$.
(1)若$\angle C = 36^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数;
(2)求证:$FB = FE$.
(1)若$\angle C = 36^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数;
(2)求证:$FB = FE$.
答案：
22.
(1)解:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.因为∠C=36°,所以∠ABC=36°.因为AB=AC,D是BC边上的中点,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠BAD=90°-36°=54°.
(2)证明:因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.因为EF//BC,所以∠FEB=∠CBE,所以∠FBE=∠FEB,所以FB=FE.
(1)解:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.因为∠C=36°,所以∠ABC=36°.因为AB=AC,D是BC边上的中点,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠BAD=90°-36°=54°.
(2)证明:因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.因为EF//BC,所以∠FEB=∠CBE,所以∠FBE=∠FEB,所以FB=FE.
23. (12 分)(1)问题发现:
如图①,$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等边三角形,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,连接$BE$.
①$\angle AEB$的度数为
②线段$AD$,$BE$之间的数量关系是
(2)拓展探究:
如图②,$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,$CM$为$\triangle DCE$中$DE$边上的高,连接$BE$.请判断$\angle AEB$的度数及线段$CM$,$AE$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
如图①,$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等边三角形,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,连接$BE$.
①$\angle AEB$的度数为
60°
;②线段$AD$,$BE$之间的数量关系是
AD=BE
.(2)拓展探究:
如图②,$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,$CM$为$\triangle DCE$中$DE$边上的高,连接$BE$.请判断$\angle AEB$的度数及线段$CM$,$AE$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
答案：
23.
(1)①60° ②AD=BE
(2)∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由如下:因为△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠CDE=∠DEC=45°,∠ACB - ∠DCB=∠DCE - ∠DCB,即∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE.所以AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.所以∠AEB=∠BEC - ∠CED=135° - 45°=90°.在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,所以∠DCM=∠ECM=45°,所以∠DCM=∠ECM=∠CDE=∠CED,所以CM=DM=ME,所以DE=2CM.所以AE=DE+AD=2CM+BE.
(1)①60° ②AD=BE
(2)∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由如下:因为△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠CDE=∠DEC=45°,∠ACB - ∠DCB=∠DCE - ∠DCB,即∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE.所以AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.所以∠AEB=∠BEC - ∠CED=135° - 45°=90°.在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,所以∠DCM=∠ECM=45°,所以∠DCM=∠ECM=∠CDE=∠CED,所以CM=DM=ME,所以DE=2CM.所以AE=DE+AD=2CM+BE.
查看更多完整答案，请扫码查看
