《2025年新学案暑假作业七年级数学》

15. 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答问题。
第一组等式：
$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}；$
$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}；$
$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}；$
$……$第二组等式：$\frac{1}{2 × 4} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4})；$$\frac{1}{4 × 6} = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} - \frac{1}{6})；$$\frac{1}{6 × 8} = \frac{1}{2}(\frac{1}{6} - \frac{1}{8})；$$……$
(1)计算：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \frac{1}{4 × 5} + \frac{1}{5 × 6} $= ______$\frac{5}{6}$；
(2)探究：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} = $______$\frac{n}{n+1}$(用含有$n$的式子表示)；
(3)若$\frac{1}{1 × 3} + \frac{1}{3 × 5} + \frac{1}{5 × 7} + … + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$的值为$\frac{49}{99},$求$n$的平方根。
解：因为$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{49}{99}$,
所以$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{49}{99}$.
所以$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{98}{99}$,
所以$\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{99}$,
所以2n+1=99,2n=98,
所以n=49,所以n的平方根是±7.

答案： 解:
(1)$\frac{5}{6}$
(2)$\frac{n}{n+1}$
(3)因为$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{49}{99}$,
所以$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{49}{99}$.
所以$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{98}{99}$,
所以$\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{99}$,
所以2n+1=99,2n=98,
所以n=49,所以n的平方根是±7.