《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

16. 观察下列各式，并解答问题：
$ 4 × 1 × 2 + 1 = (1 + 2)^{2} $；
$ 4 × 2 × 3 + 1 = (2 + 3)^{2} $；
$ 4 × 3 × 4 + 1 = (3 + 4)^{2} $；
……
(1)根据规律可得，$ 4 × 2024 × 2025 + 1 $ 的算术平方根是4049；
(2)根据以上规律，分解因式：$ 4(\frac{1}{2}x^{2} + x)(\frac{1}{2}x^{2} + x + 1) + 1 $.

答案： 16.解：
(1)4049.
(2)由规律，得原式=$(\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{1}{2}x^{2}+x + 1)^{2}=(x^{2}+2x + 1)^{2}=[(x + 1)^{2}]^{2}=(x + 1)^{4}$。

17. 解答下列各题：
（1）不解方程组 $ \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = \frac{3}{2} \\ 5x + 2 = 3y \end{cases} $，求整式 $ (2x + y)(2x - 3y) + 3x(2x + y) $ 的值.
（2）已知 $ (xy - 4)^{2} + |x - 2y - 2| = 0 $，求 $ x^{2} + 4xy + 4y^{2} $ 的值.
（3）已知 $ (a^{2} + b^{2} - 20)(a^{2} + b^{2}) + 100 = 0 $，且 $ a - b = 2 $，求 $ a + b $ 的值.

答案： 17.
(1)解：原式=(2x + y)(2x - 3y + 3x)=(2x + y)(5x - 3y)。
$\begin{cases}x+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}\\5x + 2 = 3y\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}2x + y = 3,\\5x - 3y = -2,\end{cases}$原式=3×(-2)= -6。
(2)解：$\because(xy - 4)^{2}\geq0$，$\vert x - 2y - 2\vert\geq0$，$\therefore xy - 4 = 0$，$x - 2y - 2 = 0$，即$xy = 4$，$x - 2y = 2$。$\because$原式=$(x + 2y)^{2}=(x - 2y)^{2}+8xy$，$\therefore$原式=$2^{2}+8×4 = 36$。
(3)解：$\because(a^{2}+b^{2}-20)(a^{2}+b^{2})+100 = 0$，$\therefore(a^{2}+b^{2}-10)^{2}=0$，$\therefore a^{2}+b^{2}=10$.①
$\because a - b = 2$，$\therefore(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=4$.②
由①$-$②，得$2ab = 6$，$\therefore ab = 3$。$\because(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$，$\therefore(a + b)^{2}=2^{2}+4×3 = 16$，$\therefore a + b = \pm4$。

18. 已知实数 $ x $，$ y $，$ z $ 满足 $ x + y + z = 4 $，求代数式 $ xy + 2yz + xz $ 的最大值.

答案： 18.解：原式$=xy + yz + yz + xz = y(x + z)+z(y + x)=-(y - 2)^{2}-4]-[(x - 2)^{2}-4]=-[(y - 2)^{2}-4]-[(x - 2)^{2}-4]=8-(y - 2)^{2}-(x - 2)^{2}。$$\because-(y - 2)^{2}-(x - 2)^{2}\leq0，$$\therefore8-(y - 2)^{2}-(x - 2)^{2}\leq8，$即xy + 2yz + xz的最大值是8。