《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

15. 解答下列各题:
(1)先化简,再求值: $ (x - 3)^{2} + (x + 3)(x - 3) + 2x(2 - x) $,其中 $ x = -\frac{1}{2} $.
(2)符号 $ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} $ 叫作二阶行列式,其运算定义为 $ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad - bc $.已知 $ \begin{vmatrix} 2x + 3 & 2x - 1 \\ 1 - 2x & 3 - 2x \end{vmatrix} = 6 $,求 $ x $ 的值.
(3)先化简,再求值: $ [(x - 2y)(x + 4y) + 4y(x + 2y)] ÷ (2x) $,其中 $ x,y $ 满足 $ a^{x - y} \cdot a^{2y + 1} = a^{9},b^{x - 1} ÷ b^{1 + y} = b^{2} $.

答案： 15.
(1)解：原式=x²-6x+9+x²-9+4x-2x²=-2x.当x=-1/2时，原式=-2×(-1/2)=1.
(2)解：由二阶行列式的定义，得(2x+3)(3-2x)-(1-2x)(2x-1)=6，即(3+2x)(3-2x)+(2x-1)²=6，
∴9-4x²+(4x²-4x+1)=6，整理，得-4x=-4，解得x=1.
(3)解：原式=(x²+4xy-2xy-8y²+4xy+8y²)÷(2x)=(x²+6xy)÷(2x)=1/2x+3y.
∵$a^{x-y}·a^{2y+1}=a⁹，$
∴$a^{x+y+1}=a⁹，$
∴x+y+1=9，即x+y=8.
∵$b^{x-1}÷b^{1+y}=b²，$
∴$b^{x-y-2}=b²，$
∴x-y-2=2，即x-y=4.由{x+y=8,x-y=4,}解得{x=6,y=2.}当x=6，y=2时，原式=1/2×6+3×2=9.

16. 解答下列问题:
(1)已知 $ (x + y)^{2} = 16,x - y = 2 $,求 $ xy $ 的值;
(2)已知 $ a - b = -3,ab = -2 $,求 $ (a + b)(a^{2} - b^{2}) $ 的值.

答案： 16.解：
(1)
∵(x+y)²=16，
∴x²+2xy+y²=16.①
∵x-y=2，
∴(x-y)²=x²-2xy+y²=4.②由①-②，得4xy=12，解得xy=3.
(2)
∵a-b=-3，ab=-2，
∴(a+b)²=(a-b)²+4ab=(-3)²+4×(-2)=1，
∴(a+b)(a²-b²)=(a+b)(a+b)(a-b)=(a+b)²(a-b)=1×(-3)=-3.

17. 已知 $ x \neq 0,M = (x^{2} + 2x + 1)(x^{2} - 2x + 1),N = (x^{2} + x + 1)(x^{2} - x + 1) $,请比较 $ M $ 与 $ N $ 的大小.

答案： 17.解：M=[(x²+1)+2x][(x²+1)-2x]=(x²+1)²-4x²=x⁴+2x²+1-4x²=x⁴-2x²+1.同理可得N=x⁴+x²+1，
∴M-N=-3x².
∵x≠0，
∴-3x²＜0，
∴M＜N.

18. 已知 $ a $ 满足 $ (a - 32)^{2} + (34 - a)^{2} = 2025 $,求 $ 2(a - 33)^{2} + 1 $ 的值.

答案： 18.解：设a-33=m，则a-32=m+1，34-a=1-m.
∵(a-32)²+(34-a)²=2025，
∴(m+1)²+(1-m)²=2025，
∴m²+2m+1+1-2m+m²=2025，
∴2m²=2023，
∴2(a-33)²+1=2m²+1=2023+1=2024.