《2025年名校课堂九年级数学上册人教版安徽专版》

11. 用反证法证明命题“直角三角形中的两个锐角互余”时，应先假设直角三角形中的两个锐角不互余.

答案： 11.直角三角形中的两个锐角不互余

12. 用反证法证明：若$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$是$\triangle ABC$的三个内角，则其中至少有一个角不大于$60^{\circ}$.

答案： 12.证明:假设∠A,∠B,∠C都大于60°,则有∠A+∠B+∠C＞180°,这与三角形的内角和等于180°相矛盾.因此假设不成立,即∠A,∠B,∠C中至少有一个角不大于60°.

13. 已知点$P$不在$\odot O$上，且点$P$到$\odot O$上的点的最小距离是$4\mathrm{cm}$，最大距离是$9\mathrm{cm}$，则$\odot O$的直径是13 cm或5 cm.

答案： 13.13 cm或5 cm

14. 已知$\odot O$的半径为 1，点$P$到圆心$O$的距离为$d$. 若关于$x$的方程$x^{2}-2x + d = 0$没有实数根，则点$P$(B)

A.在$\odot O$的内部
B.在$\odot O$的外部
C.在$\odot O$上
D.在$\odot O$上或在$\odot O$的内部

答案： 14.B

15. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$AD = 1$，以顶点$D$为圆心作半径为$r$的圆. 若要求另外三个顶点$A$，$B$，$C$中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则$r$的取值范围是1＜r＜√5.

答案： 15.1＜r＜√5

16. 如图，将$\triangle ABC$放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点$A$，$B$，$C$均在格点上(网格线的交点)，用一个圆面去覆盖$\triangle ABC$，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径是√5.

答案： √5

17. 新考向 真实情境 “以铜为镜，可以正衣冠”. 铜镜是我国古代人民勤劳和智慧的结晶. 如图所示的是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”. 文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦$AB$的长为$16\mathrm{cm}$，铜镜上的点到弦$AB$的最大距离为$6\mathrm{cm}$.
(1)请用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心(简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹).
(2)请帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径.

答案： 17.解:
(1)图略.步骤:连接AB,作线段AB的垂直平分线MN交⌢AB于点C,连接AC,作线段AC的垂直平分线EF,EF交MN于点O.
(2)连接OA,设AB与OC交于点D.由题意,得AB=16 cm,CD=6 cm,则AD=DB=8 cm.设⊙O的半径为r cm,则OD=(r-6)cm.在Rt△AOD中,AD²+OD²=AO²,即8²+(r-6)²=r²,解得r=25/3.
∴⊙O的半径为25/3 cm.

18. 如图，$\odot O$是$\triangle ABD$的外接圆，$AE$，$BE$分别平分$\angle BAD$和$\angle ABD$，延长$AE$交$\odot O$于点$C$，连接$CB$，$CD$，$ED$.
(1)若$\angle CBD = 40^{\circ}$，求$\angle BAD$的度数.
(2)求证：点$C$是$\triangle BDE$的外心.

答案： 18.解:
(1)
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAD=2∠CAD.
∵∠CAD=∠CBD=40°,
∴∠BAD=80°.
(2)证明:
∵AE,BE分别平分∠BAD和∠ABD,
∴∠BAC=∠DAC,∠ABE=∠DBE.
∴⌢BC=⌢CD.
∴BC=CD.
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠CBD=∠BAC.
∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠BAC+∠ABE=∠BEC.
∴BC=EC.
∴BC=EC=DC.
∴点B,E,D在以点C为圆心的同一个圆上.
∴点C是△BDE的外心.