《2025年名校课堂九年级数学上册人教版安徽专版》

1. (1)如图 1,已知$\triangle ABC$和$\triangle ECD$是等边三角形,点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,连接$BE$,交边$AC$于点$G$,连接$AD$,交$BE$于点$F$.易证:$\triangle ACD\cong\triangle BCE$.若将$\triangle ECD$绕点$C$顺时针旋转一定的角度$\alpha(0^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ})$(如图 2),此时$\triangle ACD\cong\triangle BCE$还成立吗? 请说明理由.
(2)在$\triangle ABC$和$\triangle ECD$中,$BC = AC$,$CE = CD$,$\angle ACB = \angle DCE$,将$\triangle ECD$绕点$C$旋转,当旋转到图 3 的位置时.
①此时$\triangle ACD\cong\triangle BCE$还成立吗? 请说明理由.
②延长$BE$交$AD$于点$F$,$AC$交$BF$于点$O$,则$\angle BFA$与$\angle ACB$之间的数量关系是什么? 请说明理由.




(3)如图 4,在$\triangle ABC$和$\triangle ECD$中,$BC = AC$,$CE = CD$,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,将$\triangle ECD$绕点$C$旋转,使得点$A$落在$DE$的延长线上,连接$BE$,此时$\triangle ACD\cong\triangle BCE$还成立吗? 若$CD = CE = 2\sqrt{2}$,$AE = 2$,求线段$AB$的长.

答案： 1. 解:
(1)成立.理由如下:
∵△ABC 和△ECD 是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD.
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)①△ACD≌△BCE 成立.理由如下:
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SAS).②∠BFA=∠ACB.理由如下:由①知,△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=∠EBC.又
∵∠AOF=∠COB,
∴∠BFA=∠ACB.
(3)△ACD≌△BCE 成立.理由如下:
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠CBE=∠CAD.设 AC,BE 交于点 O.
∴∠BOC=∠AOE.
∴∠BEA=∠BCA=90°.
∵CD=CE=2√2,
∴DE=$\sqrt {CD^{2}+CE^{2}}$=4.
∴BE=AD=AE+DE=2+4=6.
∴在 Rt△ABE 中,AB=$\sqrt {BE^{2}+AE^{2}}$=$\sqrt {6^{2}+2^{2}}$=2√10.

2. (2023·芜湖无为市期中)如图 1,在正方形$ABCD$内作$\angle EAF = 45^{\circ}$,$AE$交$BC$于点$E$,$AF$交$CD$于点$F$,连接$EF$,过点$A$作$AH\perp EF$,垂足为$H$.
(1)如图 2,将$\triangle ADF$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABG$.
①求证:$\triangle AGE\cong\triangle AFE$.
②若$BE = 2$,$DF = 3$,求$AH$的长.



(2)如图 3,连接$BD$交$AE$于点$M$,交$AF$于点$N$.请探究并猜想:线段$BM$,$MN$,$ND$之间有什么数量关系? 并说明理由.

答案： 2. 解:
(1)①证明:由旋转的性质可知,AF=AG,∠DAF=∠BAG.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BAD=90°.又
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠BAG+∠BAE=45°.
∴∠GAE=∠FAE.在△AGE 和△AFE 中,$\left\{\begin{array}{l} AG=AF,\\ ∠GAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△AGE≌△AFE(SAS).②
∵△AGE≌△AFE,AB⊥GE,AH⊥EF,
∴AB=AH,GE=EF=5.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=BC=DC.设 AB=AH=x,则 EC=x-2,FC=x-3.在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得 EF²=FC²+EC²,即(x-2)²+(x-3)²=25,解得 x=6.
∴AB=6.
∴AH=6.
(2)MN²=ND²+BM².理由:将△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADM',连接 M'N.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°.由旋转的性质可知,∠ABM=∠ADM'=45°,BM=DM',AM=AM'.
∴∠NDM'=90°.
∴NM'²=ND²+DM'².
∵∠EAM'=90°,∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠FAM'=45°.在△AMN 和△AM'N 中,$\left\{\begin{array}{l} AM=AM',\\ ∠MAN=∠M'AN,\\ AN=AN,\end{array}\right. $
∴△AMN≌△AM'N(SAS).
∴MN=NM'.又
∵BM=DM',
∴MN²=ND²+BM².