《2025年名校课堂九年级数学上册人教版安徽专版》

1. 根据下列条件解答问题：
(1) 若二次函数 $ y = ax^2 + 4ax + a $ 的图象经过点 $ (3, 22) $，则该二次函数的解析式为$y=x^{2}+4x+1$。
(2) 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的自变量 $ x $ 的部分取值与对应函数值 $ y $ 如下表：

则该二次函数的解析式为$y=x^{2}-2x-3$。
(3) 若抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，最小值为$ -1 $，且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 3) $，则该抛物线的解析式为$y=(x-2)^{2}-1$。
(4) 若抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 的形状相同，且经过点 $ A(1, 0) $，则它的解析式为$y=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac {1}{4}$或$y=\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{4}$。

(5) 如图所示的是二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x - h)^2 (h \neq 0) $ 的图象，其中 $ OA = OC $，则该二次函数的解析式为$y=\frac {1}{2}(x-2)^{2}$。

答案： 1.
(1)$y=x^{2}+4x+1$
(2)$y=x^{2}-2x-3$
(3)$y=(x-2)^{2}-1$
(4)$y=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac {1}{4}$或$y=\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{4}$
(5)$y=\frac {1}{2}(x-2)^{2}$

2. 已知抛物线 $ y = -x^2 + 2x + 1 $。
(1) 先向右平移 $ 3 $ 个单位长度，再向下平移 $ 2 $ 个单位长度所得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16$)。

(2) 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$)。
(3) 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$)。

答案： 2.
(1)$y=-(x-4)^{2}$(或$y=-x^{2}+8x-16$)
(2)$y=(x-1)^{2}-2$(或$y=x^{2}-2x-1$)
(3)$y=-(x+1)^{2}+2$(或$y=-x^{2}-2x+1$)

3. (2024·合肥瑶海区期中改编) 已知抛物线的顶点坐标是 $ (1, -5) $，且过点 $ (0, -3) $，则抛物线的解析式为$y=2(x-1)^{2}-5$。

答案： 3.$y=2(x-1)^{2}-5$

4. (2024·安庆外国语期中) 若在二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中，部分数值如下表所示：

求此二次函数的解析式。

答案： 4.解:根据表中数值的对应关系计算:把$x=1$代入$ax^{2}=1$,得$a=1$;把$x=0$代入$ax^{2}+bx+c=3$,得$0+0+c=3$,解得$c=3$;把$x=-1,a=1,c=3$代入$ax^{2}+bx+c=8$,得$1-b+3=8$,解得$b=-4$.
∴此二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x+3.$

5. (2024·合肥38中期中节选) 如图，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $。求抛物线的解析式和顶点坐标。

答案： 5.解:把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$,得$\left\{\begin{array}{l} -1-b+c=0,\\ -9+3b+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=2,\\ c=3.\end{array}\right. $
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3.\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,
∴顶点坐标为$(1,4).$

6. 新考向 推理能力 设二次函数 $ y = ax^2 + bx + 1 (a \neq 0, b $ 是实数 $ ) $，已知自变量 $ x $ 的部分取值与对应函数值 $ y $ 如下表所示：

(1) 若 $ m = 4 $，求二次函数的解析式。
(2) 若在 $ m, n, p $ 这三个实数中，只有一个是正数，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 6.解:
(1)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b+1=4,\\ 4a+2b+1=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2.\end{array}\right. $
∴二次函数的解析式是$y=x^{2}-2x+1.$
(2)$\because x=0$和$x=2$时的函数值都是1,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac {b}{2a}=1.\therefore b=-2a$.
∴二次函数为$y=ax^{2}-2ax+1.\therefore n=-a+1,m=p=3a+1$.
∵在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,$\therefore \left\{\begin{array}{l} -a+1＞0,\\ 3a+1≤0.\end{array}\right. \therefore a≤-\frac {1}{3}.$