《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.分解因式$4x^{2}-y^{2}$的结果是 (C)
A.$(4x+y)(4x-y)$
B.$4(x+y)(x-y)$
C.$(2x+y)(2x-y)$
D.$2(x+y)(x-y)$

答案： 解：$4x^{2}-y^{2}=(2x)^{2}-y^{2}=(2x+y)(2x-y)$
故选C.

2.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 (A)
A.$-a^{2}+b^{2}$
B.$x^{2}+y^{2}$
C.$-m^{2}-n^{2}$
D.$x^{2}+xy$

答案： 解：平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其特点是多项式为两项，且两项符号相反，均能写成平方的形式。
A选项：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，符合平方差公式特点，能用平方差公式分解因式。
B选项：$x^2 + y^2$，两项符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式分解因式。
C选项：$-m^2 - n^2=-(m^2 + n^2)$，两项符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式分解因式。
D选项：$x^2 + xy$，含有两项，但第二项不是平方的形式，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式分解因式。
答案：A

3.若$a,b,c$为一个三角形的三条边,则代数式$(a-c)^{2}-b^{2}$的值 (B)
A.一定为正数
B.一定为负数
C.可能为0
D.无法确定

答案： 解：$(a - c)^2 - b^2 = (a - c + b)(a - c - b)$
因为$a,b,c$为三角形的三条边，所以$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$
即$a + b - c ＞ 0$，$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$
所以$(a - c + b)(a - c - b) ＜ 0$，即代数式的值一定为负数
答案：B

4.如图1,将边长为$x$的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的长方形.这两个图能解释的等式是 (B)
A.$x^{2}-2x+1= (x-1)^{2}$
B.$x^{2}-1= (x+1)(x-1)$
C.$x^{2}+2x+1= (x+1)^{2}$
D.$x^{2}-x= x(x-1)$

答案： 解：
图1中剩余部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即 $x^2 - 1^2 = x^2 - 1$。
图2中长方形的长为 $x + 1$，宽为 $x - 1$，面积为 $(x + 1)(x - 1)$。
由于两个图形面积相等，故 $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$。
答案：B

5.已知$2^{48}-1$可以被在60~70之间的两个整数整除,则这两个数是 (C)
A.61,62
B.63,64
C.63,65
D.65,67

答案： 解：$2^{48}-1$
$=(2^{24})^{2}-1^{2}$
$=(2^{24}+1)(2^{24}-1)$
$=(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{12}-1)$
$=(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{6}-1)$
$=(2^{24}+1)(2^{12}+1)×65×63$
故这两个数是63，65。
答案：C

6.(2024·无锡)分解因式:$x^{2}-9= $$(x+3)(x-3)$.

答案： 解：$x^{2}-9=x^{2}-3^{2}=(x+3)(x-3)$
$(x+3)(x-3)$

7.(2023·雅安)若$a+b= 2,a-b= 1$,则$a^{2}-b^{2}$的值为2.

答案： 解：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
因为$a+b=2$，$a-b=1$
所以原式$=2×1=2$
故答案为$2$。

8.(2022·广安)已知$a+b= 1$,则代数式$a^{2}-b^{2}+2b+9$的值为10.

答案： 解：$a^{2}-b^{2}+2b+9$
$=(a+b)(a-b)+2b+9$
因为$a + b = 1$，所以原式$=1×(a - b)+2b + 9$
$=a - b + 2b + 9$
$=a + b + 9$
又因为$a + b = 1$，所以原式$=1 + 9 = 10$
10

9.分解因式:
(1)$4m^{2}-n^{2}$;
(2)$-16y^{2}+9x^{2}$;
(3)$9a^{2}-\frac{1}{4}b^{2}$;
(4)$(a+b)^{2}-9a^{2}$;
(5)$9(m+n)^{2}-(m-n)^{2}$.
(6)$(4x+y)^{2}-4(x+y)^{2}$

答案：
(1)解：原式$=(2m)^{2}-n^{2}=(2m+n)(2m-n)$
(2)解：原式$=9x^{2}-16y^{2}=(3x)^{2}-(4y)^{2}=(3x+4y)(3x-4y)$
(3)解：原式$=(3a)^{2}-\left(\frac{1}{2}b\right)^{2}=\left(3a+\frac{1}{2}b\right)\left(3a-\frac{1}{2}b\right)$
(4)解：原式$=(a+b)^{2}-(3a)^{2}=(a+b+3a)(a+b-3a)=(4a+b)(b-2a)$
(5)解：原式$=[3(m+n)]^{2}-(m-n)^{2}=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)$
(6)解：原式$=(4x+y)^{2}-[2(x+y)]^{2}=(4x+y+2x+2y)(4x+y-2x-2y)=(6x+3y)(2x-y)=3(2x+y)(2x-y)$