《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

12.已知一个长方形的面积为$4a^{2}-6ab+2a$,若它的一条边长为2a,则它的周长是______8a - 6b + 2.

答案： 解：长方形的另一条边长为：
$(4a^{2} - 6ab + 2a) ÷ 2a = 4a^{2} ÷ 2a - 6ab ÷ 2a + 2a ÷ 2a = 2a - 3b + 1$
长方形的周长为：
$2 × (2a + 2a - 3b + 1) = 2 × (4a - 3b + 1) = 8a - 6b + 2$
8a - 6b + 2

13.我们已经学习过多项式除以单项式,多项式除以多项式一般可用竖式计算,步骤如下:
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.
②用被除式的第一项除以除式第一项,得到商式的第一项.
③用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项.
④把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止,依据是“被除式= 除式×商式+余式”.若余式为零,说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如:计算$(6x^{4}-7x^{3}-x^{2}-1)÷ (2x+1)$,可采用竖式除法,如图:

$\therefore 6x^{4}-7x^{3}-x^{2}-1除以2x+1$,商式为$3x^{3}-5x^{2}+2x-1$,余式为0.
请根据以上材料,解答下列问题(直接填空):
(1)$(2x^{3}+x-3)÷ (x-1)=$______$2x^{2}+2x+3$;
(2)$[(x-2)(x-3)+1]÷ (x-1)$的余式为______$-1$;
(3)$x^{3}+ax^{2}+bx-15能被x^{2}-2x+3$整除,则a= ______$-5$,b= ______$1$.

答案：
(1) $2x^{2}+2x+3$
(2) $-1$
(3) $a=-5$，$b=1$